Algèbre Exemples

$r = \sin (θ) - \cos (θ)$

Étape 1

Comme $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , remplacez $\sin (θ)$ par $\frac{y}{r}$ .

$r = \frac{y}{r} - \cos (θ)$

Étape 2

Comme $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , remplacez $\cos (θ)$ par $\frac{x}{r}$ .

$r = \frac{y}{r} - \frac{x}{r}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $r$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés par $r$ .

$r \cdot r = r (\frac{y}{r} - \frac{x}{r})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} = r (\frac{y}{r} - \frac{x}{r})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $r (\frac{y}{r} - \frac{x}{r})$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} = r \frac{y}{r} + r (- \frac{x}{r})$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$r^{2} = r \frac{y}{r} + r (- \frac{x}{r})$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$r^{2} = y + r (- \frac{x}{r})$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r^{2} = y - r \frac{x}{r}$

Étape 3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Factorisez $r$ à partir de $- r$ .

$r^{2} = y + r \cdot - 1 \frac{x}{r}$

Étape 3.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$r^{2} = y + r \cdot - 1 \frac{x}{r}$

Étape 3.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$r^{2} = y - x$

Étape 4

Comme $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , remplacez $r^{2}$ par $x^{2} + y^{2}$ et $r$ par $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = y - x$

Étape 5

Écrivez en forme normalisée

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - y = - x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - y + x = 0$

Étape 5.1.3

Déplacez $- y$ .

$x^{2} + y^{2} + x - y = 0$

Étape 5.2

Complétez le carré pour $x^{2} + x$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 5.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 5.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 5.3

Remplacez $x^{2} + x$ par ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + x - y = 0$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - y = 0$

Étape 5.4

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - y = 0 + \frac{1}{4}$

Étape 5.5

Complétez le carré pour $y^{2} - y$ .

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Étape 5.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Étape 5.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 5.5.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.5.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 5.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 5.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 5.6

Remplacez $y^{2} - y$ par ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + x - y = 0$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}$

Étape 5.7

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 5.8

Simplifiez $0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Étape 5.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1 + 1}{4}$

Étape 5.8.2

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{4}$

Étape 5.8.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 (1)}{4}$

Étape 5.8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$