Algèbre Exemples

$3 e^{- x^{4}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- x^{4}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{4}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f' (x) = - 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

Étape 1.3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{4}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{4}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.4.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.5.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.6

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Étape 2.8.2

Associez des termes.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Étape 2.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Étape 2.8.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$