Algèbre Exemples

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$

Étape 1

Écrivez $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5 \frac{d}{d x} x$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 4 x - 5$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Étape 6.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 4$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 5)}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $16$ et $60$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Étape 6.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.5.1.3

Additionnez $16$ et $60$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.5.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Étape 6.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.5.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{19})}{3}$

Étape 6.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Étape 6.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.6.1.3

Additionnez $16$ et $60$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Étape 6.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.6.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{19})}{3}$

Étape 6.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (\sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Étape 6.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 6.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) + 4$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (2 - \sqrt{19})}{3} + 4$

Étape 10.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (2 - \sqrt{19})}{3} + 4$

Étape 10.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (2 - \sqrt{19})}{3} + 4$

Étape 10.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (2 - \sqrt{19})) + 4$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (2 - \sqrt{19}) + 4$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 2 - 2 (- \sqrt{19}) + 4$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 - 2 (- \sqrt{19}) + 4$

Étape 10.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 4 + 2 \sqrt{19} + 4$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Étape 11

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.8

Multipliez ${\sqrt{19}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.9

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.10

Multipliez $6$ par $19$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.13

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{3}$ comme $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.14

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{6859}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.15

Réécrivez $6859$ comme $19^{2} \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.15.1

Factorisez $361$ à partir de $6859$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.15.2

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - (19 \sqrt{19})}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.5.17

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.6

Additionnez $8$ et $114$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 12 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.7

Soustrayez $19 \sqrt{19}$ de $- 12 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.10

Multipliez $\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.12

Réécrivez ${(2 - \sqrt{19})}^{2}$ comme $(2 - \sqrt{19}) (2 - \sqrt{19})$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{(2 - \sqrt{19}) (2 - \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.13

Développez $(2 - \sqrt{19}) (2 - \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 (2 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (2 - \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (2 - \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 2 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.14.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 2 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 2 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.4

Multipliez $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.14.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.4.2

Multipliez $\sqrt{19}$ par $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.4.4

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.2

Additionnez $4$ et $19$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.14.3

Soustrayez $2 \sqrt{19}$ de $- 2 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 - 4 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.15

Associez $2$ et $\frac{23 - 4 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.16

Multipliez $- 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} + 5 (\frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Étape 12.2.1.16.2

Associez $5$ et $\frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Étape 12.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Multipliez $\frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $\frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $\frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 12.2.2.4

Multipliez $\frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 12.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 12.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 12.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (122 - 31 \sqrt{19}) + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 122 - (- 31 \sqrt{19}) + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $122$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - (- 31 \sqrt{19}) + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.3

Multipliez $- 31$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + (2 \cdot 23 + 2 (- 4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.5

Multipliez $2$ par $23$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + (46 + 2 (- 4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + (46 - 8 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 46 \cdot 3 - 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.8

Multipliez $46$ par $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.9

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + (5 \cdot 2 + 5 (- \sqrt{19})) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.11

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + (10 + 5 (- \sqrt{19})) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.12

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + (10 - 5 \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 10 \cdot 9 - 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.14

Multipliez $10$ par $9$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 90 - 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.15

Multipliez $9$ par $- 5$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 90 - 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 12.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Additionnez $- 122$ et $138$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{16 + 31 \sqrt{19} - 24 \sqrt{19} + 90 - 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $16$ et $90$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 + 31 \sqrt{19} - 24 \sqrt{19} - 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 12.2.5.3

Soustrayez $24 \sqrt{19}$ de $31 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 + 7 \sqrt{19} - 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 12.2.5.4

Soustrayez $45 \sqrt{19}$ de $7 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) + 4$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (2 + \sqrt{19})}{3} + 4$

Étape 14.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (2 + \sqrt{19})}{3} + 4$

Étape 14.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (2 + \sqrt{19})}{3} + 4$

Étape 14.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (2 + \sqrt{19})) + 4$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (2 + \sqrt{19}) + 4$

Étape 14.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{19} + 4$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 - 2 \sqrt{19} + 4$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Étape 14.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{19}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Étape 15

$x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.6

Multipliez $6$ par $19$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.7

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{3}$ comme $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.8

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{6859}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.9

Réécrivez $6859$ comme $19^{2} \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.5.9.1

Factorisez $361$ à partir de $6859$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.9.2

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.5.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.6

Additionnez $8$ et $114$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 12 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.7

Additionnez $12 \sqrt{19}$ et $19 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.10

Multipliez $\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.12

Réécrivez ${(2 + \sqrt{19})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{19}) (2 + \sqrt{19})$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{(2 + \sqrt{19}) (2 + \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.13

Développez $(2 + \sqrt{19}) (2 + \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 (2 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (2 + \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} (2 + \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 2 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.14.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 2 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14.1.4

Multipliez $19$ par $19$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14.1.5

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + 19}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14.2

Additionnez $4$ et $19$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.14.3

Additionnez $2 \sqrt{19}$ et $2 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 + 4 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.15

Associez $2$ et $\frac{23 + 4 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.16

Multipliez $- 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} + 5 (\frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Étape 16.2.1.16.2

Associez $5$ et $\frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Étape 16.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Multipliez $\frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $\frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Étape 16.2.2.3

Multipliez $\frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 16.2.2.4

Multipliez $\frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 16.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 16.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 16.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (122 + 31 \sqrt{19}) + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 122 - (31 \sqrt{19}) + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $122$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - (31 \sqrt{19}) + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.3

Multipliez $31$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + (2 \cdot 23 + 2 (4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.5

Multipliez $2$ par $23$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + (46 + 2 (4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + (46 + 8 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 46 \cdot 3 + 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.8

Multipliez $46$ par $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.9

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + (5 \cdot 2 + 5 \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.11

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + (10 + 5 \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.12

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 10 \cdot 9 + 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.13

Multipliez $10$ par $9$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 90 + 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Étape 16.2.4.14

Multipliez $9$ par $5$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 90 + 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 16.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.5.1

Additionnez $- 122$ et $138$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{16 - 31 \sqrt{19} + 24 \sqrt{19} + 90 + 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 16.2.5.2

Additionnez $16$ et $90$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 - 31 \sqrt{19} + 24 \sqrt{19} + 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 16.2.5.3

Additionnez $- 31 \sqrt{19}$ et $24 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 - 7 \sqrt{19} + 45 \sqrt{19}}{27}$

Étape 16.2.5.4

Additionnez $- 7 \sqrt{19}$ et $45 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 16.2.6

La réponse finale est $\frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ .

$(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}, \frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27})$ est un minimum local

$(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}, \frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27})$ est un maximum local

Étape 18