Algèbre Exemples

$4 x \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $4 x \sqrt{1 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8.3

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.20.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.20.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 2.23

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.24

Pour écrire ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.26

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.27

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.29

Associez $4$ et $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.30

Simplifiez

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Étape 2.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.30.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.30.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.30.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 8 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 8 x^{2} + 4$ et $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 4) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 4) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 4) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 4) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 4) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.4.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.4.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x + 0) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.4.6

Additionnez $- 16 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.10.3

Placez ${(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.16

Simplifiez les termes.

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Étape 3.16.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.16.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.16.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.17.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.17.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) + 1 (- 8 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.20

Multipliez $- 8 x^{2} + 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 16 x) + (- 8 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21

Simplifiez

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Étape 3.21.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.21.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 8 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.2

Multipliez $- 8 x^{2} + 4$ par $\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 8 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{2} + 4$ .

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Étape 3.21.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(4 (- 2 x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{4 (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.4

Pour écrire $- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.5

Associez $- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 4 (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7

Réécrivez $\frac{- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 4 (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 3.21.1.7.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 4 (- 2 x^{2} + 1) x$ .

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Étape 3.21.1.7.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 4 (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 (- 2 x^{2} + 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 4 x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 4 x (- 2 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.2

Associez les exposants.

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Étape 3.21.1.7.2.1

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.21.1.7.2.1.1

Déplacez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 (- x^{2} + 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.7.2.2

Simplifiez $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 (- x^{2} + 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.21.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (4 x^{2} - 4 \cdot 1 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.8.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (4 x^{2} - 4 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.8.4

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (2 x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.1.8.5

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.2

Associez des termes.

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Étape 3.21.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 1}$

Étape 3.21.2.2

Multipliez $\frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x^{2} + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 1)}$

Étape 3.21.2.3

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.21.2.3.1

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 1$ .

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Étape 3.21.2.3.1.1

Élevez $- x^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 1)}$

Étape 3.21.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 3.21.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 3.21.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 3.21.2.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{- 8 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.1.2

$f' (x) = 4 (x \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.8

Associez les fractions.

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Étape 5.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.8.3

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.14

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.20

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 5.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 5.1.23

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = 4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.1.24

Pour écrire ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 4 (- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.26

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 4 \frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.27

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.29

Associez $4$ et $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- 2 x^{2} + 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.30

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.30.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.30.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.30.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} + 4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.30.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 8 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 8 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 8 x^{2} + 4 = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 x^{2} = - 4$

Étape 6.3.2

Divisez chaque terme dans $- 8 x^{2} = - 4$ par $- 8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x^{2} = - 4$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 x^{2}}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x^{2}}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 8}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$x^{2} = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

Étape 6.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 8$ .

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.3.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.3.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{- 8 x^{2} + 4}{\sqrt{{(- x^{2} + 1)}^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{- 8 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 8 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x^{2} + 1} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x^{2} + 1}}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x^{2} + 1}$ comme ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x^{2} + 1)}^{1} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Simplifiez

$- x^{2} + 1 = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x^{2} + 1 = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 1$

Étape 7.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 7.3.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 7.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 7.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 7.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} + 1}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x^{2} + 1 < 0$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 1$

Étape 7.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Étape 7.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Étape 7.5.4

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{1}$

Étape 7.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.4.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | > 1$

Étape 7.5.5

Écrivez $| x | > 1$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 7.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 1$

Étape 7.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 7.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 1$

Étape 7.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 7.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 1$ et $x \geq 0$ .

$x > 1$

Étape 7.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Étape 7.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Étape 7.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Étape 7.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.7.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x < - 1$

Étape 7.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 1$ ou $x > 1$

Étape 7.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, - 1, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 (\frac{\sqrt{2}}{2}) (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Associez $4$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2 (1)}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(\frac{- 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.1.1

Réduisez l’expression $\frac{4 \sqrt{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{1} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.1.2

Divisez $2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{2}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2 (\frac{2}{4}) - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{2}{2 (2)} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2} (2 \frac{2}{2 \cdot 2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2} (\frac{2}{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.6

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (1 - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.7

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.3.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 4 \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 10.5

Multipliez $- 4 \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 10.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 (2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 \cdot 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 10.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 \cdot 2^{\frac{3 + 1}{2}}$

Étape 10.5.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 4 \cdot 2^{\frac{4}{2}}$

Étape 10.5.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 4 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 10.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 4 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 10.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 10.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \cdot 2^{\frac{2}{1}}$

Étape 10.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 4 \cdot 2^{2}$

Étape 10.5.6

Factorisez le signe négatif.

$- (4 \cdot 2^{2})$

Étape 10.5.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (2^{2} \cdot 2^{2})$

Étape 10.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2^{2 + 2}$

Étape 10.5.9

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 2^{4}$

Étape 10.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 16$

Étape 10.7

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 16$

Étape 11

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (2) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 12.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 12.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 12.2.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 12.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 12.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 12.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 12.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 12.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 12.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 12.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 12.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 12.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 12.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 12.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 12.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 12.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 12.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 12.2.6.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 12.2.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}})$

Étape 12.2.8

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$

Étape 12.2.9

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 12.2.9.1

Factorisez $\sqrt{2}$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot (2 (\frac{1}{\sqrt{2}}))$

Étape 12.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot (2 (\frac{1}{\sqrt{2}}))$

Étape 12.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2$

Étape 12.2.10

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 \frac{\sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 14.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 14.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 14.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2 (1)}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(\frac{- 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{2}}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.3.1.1

Réduisez l’expression $\frac{- 4 \sqrt{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- 2 \sqrt{2})}{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{2 (- 2 \sqrt{2})}{2 (1)} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (- 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 2 \sqrt{2}}{1} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.1.2

Divisez $- 2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 14.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}) - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.4

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{2}{2^{2}} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 (\frac{2}{4}) - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{2}{2 (2)} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 \frac{2}{2 \cdot 2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (\frac{2}{2} - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.8

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (1 - 3)}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.9

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 14.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$4 \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 14.5

Multipliez $4 \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 14.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{2} \sqrt{2}$

Étape 14.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{\frac{3}{2} + 2} \sqrt{2}$

Étape 14.5.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \sqrt{2}$

Étape 14.5.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \sqrt{2}$

Étape 14.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{3 + 2 \cdot 2}{2}} \sqrt{2}$

Étape 14.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2^{\frac{3 + 4}{2}} \sqrt{2}$

Étape 14.5.6.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$2^{\frac{7}{2}} \sqrt{2}$

Étape 14.5.7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{7}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 14.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{\frac{7}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 14.5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{7 + 1}{2}}$

Étape 14.5.10

Additionnez $7$ et $1$ .

$2^{\frac{8}{2}}$

Étape 14.5.11

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 14.5.11.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2^{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

Étape 14.5.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.5.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}$

Étape 14.5.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}$

Étape 14.5.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{4}{1}}$

Étape 14.5.11.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$2^{4}$

Étape 14.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16$

Étape 15

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 16.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (2) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 16.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2})) \cdot \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 16.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- \sqrt{2}) \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 16.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 16.2.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 16.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 16.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 16.2.4

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.4.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 16.2.4.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 16.2.4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 16.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 16.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 16.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 16.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 16.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 16.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 16.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 16.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 16.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 16.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 16.2.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 16.2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 16.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 16.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 16.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 16.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.2.9.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 16.2.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 16.2.9.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 16.2.10

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 16.2.11

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 16.2.12

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 16.2.12.1

Factorisez $\sqrt{2}$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot (- 2 \frac{1}{\sqrt{2}})$

Étape 16.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot (- 2 \frac{1}{\sqrt{2}})$

Étape 16.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2$

Étape 16.2.13

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 18.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 18.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{3}}$

Étape 18.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0}$

Étape 18.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4 (- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0}$

Étape 18.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 19

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 20