Algèbre Exemples

$(12 x^{2} - 10 x - 12) \div (3 x + 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 12 x^{2} - 10 x - 12$ et $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 10 x - 12] - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 10 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 + 0) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 5.2

Additionnez $24 x - 10$ et $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 7.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) + (- (12 x^{2}) - (- 10 x) - - 12) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Développez $(3 x + 2) (24 x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (24 x - 10) + 2 (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$\frac{72 x^{2} + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2.1.5

Multipliez $24$ par $2$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 48 x + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 48 x - 20 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.2.2

Additionnez $- 30 x$ et $48 x$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 12 x^{2} \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 10 x \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.7

Multipliez $- - 12 \cdot 3$ .

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Étape 8.3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x + 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.1.7.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.2

Soustrayez $36 x^{2}$ de $72 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{2} + 18 x - 20 + 30 x + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.3

Additionnez $18 x$ et $30 x$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 20 + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.3.4

Additionnez $- 20$ et $36$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36 x^{2} + 48 x + 16$ .

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Étape 8.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $36 x^{2}$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 48 x + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $48 x$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x + 4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 8.4.2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 12 x + 4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 12 x + 2^{2})}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 2$

Étape 8.4.2.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 2 + 2^{2})}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.4.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$\frac{4 {(3 x + 2)}^{2}}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de ${(3 x + 2)}^{2}$ .

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Étape 8.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(3 x + 2)}^{2}}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 8.5.2

Divisez $4$ par $1$ .

$4$