Algèbre Exemples

$x^{3} + 7 x - 2 = y$ , $[0, 10]$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y = x^{3} + 7 x - 2$ .

$y = x^{3} + 7 x - 2$

Étape 2

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Calculez $f (a) = f (0) = {(0)}^{3} + 7 (0) - 2$ .

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 7 (0) - 2$

Étape 4.1.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Étape 5

Calculez $f (b) = f (10) = {(10)}^{3} + 7 (10) - 2$ .

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (10) = 1000 + 7 (10) - 2$

Étape 5.1.2

Multipliez $7$ par $10$ .

$f (10) = 1000 + 70 - 2$

Étape 5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.1

Additionnez $1000$ et $70$ .

$f (10) = 1070 - 2$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2$ de $1070$ .

$f (10) = 1068$

Étape 6

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.28249374$

Étape 7

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[- 2, 1068]$ car $f$ est une fonction continue sur $[0, 10]$ .

Les racines sur l’intervalle $[0, 10]$ se situent sur $x \approx 0.28249374$ .

Étape 8