Algèbre Exemples

$\frac{3}{2}$ , $\frac{15}{4}$ , $\frac{75}{8}$ , $\frac{375}{16}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{5}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{5}{2}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{3}{2}$ et $r = \frac{5}{2}$ .

$a_{n} = \frac{3}{2} {(\frac{5}{2})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$a_{n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 5

Associez.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 6

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $1 + n - 1$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Étape 6.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\frac{5}{2})}^{4} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{5^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9.5

Associez $- 1$ et $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.7.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 9.7.2

Soustrayez $16$ de $625$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 10.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 2}{2}}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{3}{2}}$

Étape 11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{609}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.1

Factorisez $3$ à partir de $609$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 (203)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 203}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{16} \cdot 2)$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 (8)} \cdot 2)$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$

Étape 14

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$ .

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{203}{8}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 203}{2 \cdot 8}$

Étape 14.2

Multipliez $3$ par $203$ .

$S_{4} = \frac{609}{2 \cdot 8}$

Étape 14.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$S_{4} = \frac{609}{16}$