Algèbre Exemples

$(3, - 7)$ , $(1, - 10)$

Étape 1

L’équation générale d’une parabole avec sommet $(h, k)$ est $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . Dans ce cas nous avons $(3, - 7)$ comme sommet $(h, k)$ et $(1, - 10)$ est un point $(x, y)$ sur la parabole. Pour déterminer $a$ , remplacez les deux points dans $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$- 10 = a {(1 - (3))}^{2} - 7$

Étape 2

Utilisation de $- 10 = a {(1 - (3))}^{2} - 7$ pour résoudre $a$ , $a = - \frac{3}{4}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a {(1 - (3))}^{2} - 7 = - 10$ .

$a {(1 - (3))}^{2} - 7 = - 10$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a {(1 - 3)}^{2} - 7 = - 10$

Étape 2.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$a {(- 2)}^{2} - 7 = - 10$

Étape 2.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$a \cdot 4 - 7 = - 10$

Étape 2.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $a$ .

$4 a - 7 = - 10$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$4 a = - 10 + 7$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 10$ et $7$ .

$4 a = - 3$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $4 a = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $4 a = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- 3}{4}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{3}{4}$

Étape 3

Avec $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , l’équation générale de la parabole avec le sommet $(3, - 7)$ et $a = - \frac{3}{4}$ est $y = (- \frac{3}{4}) {(x - (3))}^{2} - 7$ .

$y = (- \frac{3}{4}) {(x - (3))}^{2} - 7$

Étape 4

Résolvez $y = (- \frac{3}{4}) {(x - (3))}^{2} - 7$ pour $y$ .

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{3}{4}) {(x - (3))}^{2} - 7$

Étape 4.2

Multipliez $- \frac{3}{4}$ par ${(x - (3))}^{2}$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot {(x - (3))}^{2} - 7$

Étape 4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{3}{4}) {(x - (3))}^{2} - 7$

Étape 4.4

Simplifiez $(- \frac{3}{4}) {(x - (3))}^{2} - 7$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{3}{4} {(x - 3)}^{2} - 7$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$y = - \frac{3}{4} ((x - 3) (x - 3)) - 7$

Étape 4.4.1.3

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 7$

Étape 4.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 7$

Étape 4.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7$

Étape 4.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - \frac{3}{4} (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7$

Étape 4.4.1.4.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3}{4} (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7$

Étape 4.4.1.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y = - \frac{3}{4} (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 7$

Étape 4.4.1.4.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$y = - \frac{3}{4} (x^{2} - 6 x + 9) - 7$

Étape 4.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{4} (- 6 x) - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.4.1.6.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} (- 6 x) - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1.6.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} (- 6 x) - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 (2)} (- 6 x) - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 (2)} (2 (- 3 x)) - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.2.4

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} (2 (- 3 x)) - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.2.5

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2} (- 3 x) - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.3

Associez $- 3$ et $\frac{- 3}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot - 3}{2} x - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.4

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{9}{2} x - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.5

Associez $\frac{9}{2}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{9 x}{2} - \frac{3}{4} \cdot 9 - 7$

Étape 4.4.1.6.6

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot 9$ .

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Étape 4.4.1.6.6.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{9 x}{2} - 9 (\frac{3}{4}) - 7$

Étape 4.4.1.6.6.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{- 9 \cdot 3}{4} - 7$

Étape 4.4.1.6.6.3

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{4} - 7$

Étape 4.4.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.7.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{4} - 7$

Étape 4.4.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} - \frac{27}{4} - 7$

Étape 4.4.2

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} - \frac{27}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.4.3

Associez $- 7$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} - \frac{27}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Étape 4.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{- 27 - 7 \cdot 4}{4}$

Étape 4.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.5.1

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{- 27 - 28}{4}$

Étape 4.4.5.2

Soustrayez $28$ de $- 27$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{- 55}{4}$

Étape 4.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} - \frac{55}{4}$

Étape 5

La forme normalisée et le sommet sont les suivants.

Forme normalisée : $y = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{55}{4}$

Forme du sommet : $y = (- \frac{3}{4}) {(x - (3))}^{2} - 7$

Étape 6

Simplifiez la forme normalisée.

Forme normalisée : $y = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{55}{4}$

Forme du sommet : $y = - \frac{3}{4} {(x - 3)}^{2} - 7$

Étape 7