Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3$ ; $(- 5, 5)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Étape 1.2.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$4 \cdot 3^{3} - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 27 - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

Étape 1.2.2.3.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$108 - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

Étape 1.2.2.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$108 - 15 \cdot 9 + 6 \cdot 3 + 9$

Étape 1.2.2.3.5

Multipliez $- 15$ par $9$ .

$108 - 135 + 6 \cdot 3 + 9$

Étape 1.2.2.3.6

Soustrayez $135$ de $108$ .

$- 27 + 6 \cdot 3 + 9$

Étape 1.2.2.3.7

Multipliez $6$ par $3$ .

$- 27 + 18 + 9$

Étape 1.2.2.3.8

Additionnez $- 27$ et $18$ .

$- 9 + 9$

Étape 1.2.2.3.9

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$0$

Étape 1.2.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9}{x - 3}$

Étape 1.2.2.5

Divisez $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ par $x - 3$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x$

$9$

Étape 1.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

Étape 1.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 12 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 1.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 1.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 1.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 9 x$

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 1.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$

Étape 1.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$

Étape 1.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$

Étape 1.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							-	$3 x$	+	$9$

Étape 1.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x + 9$

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							+	$3 x$	-	$9$

Étape 1.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							+	$3 x$	-	$9$
										$0$

Étape 1.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{2} - 3 x - 3$

Étape 1.2.2.6

Écrivez $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.5

Définissez $4 x^{2} - 3 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $4 x^{2} - 3 x - 3$ égal à $0$ .

$4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 3$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 3$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $48$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 3$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $48$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 3$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $48$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 3) = 0$ vraie.

$x = 3, \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{4} - 5 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 - 5 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 - 5 \cdot 27 + 3 {(3)}^{2} + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $27$ .

$81 - 135 + 3 {(3)}^{2} + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$81 - 135 + 3^{1} {(3)}^{2} + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81 - 135 + 3^{1 + 2} + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$81 - 135 + 3^{3} + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 - 135 + 27 + 9 (3) - 3$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $9$ par $3$ .

$81 - 135 + 27 + 27 - 3$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $135$ de $81$ .

$- 54 + 27 + 27 - 3$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $- 54$ et $27$ .

$- 27 + 27 - 3$

Étape 1.4.1.2.2.3

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$0 - 3$

Étape 1.4.1.2.2.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

${(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{4} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{3^{4} + 4 \cdot 3^{3} \sqrt{57} + 6 \cdot 3^{2} {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{81 + 4 \cdot 3^{3} \sqrt{57} + 6 \cdot 3^{2} {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{81 + 4 \cdot 27 \sqrt{57} + 6 \cdot 3^{2} {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 6 \cdot 3^{2} {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 6 \cdot 9 {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 54 {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 54 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.4.2.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57^{1} + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57 + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.7

Multipliez $54$ par $57$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 4 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.9

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 \sqrt{57^{3}} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.10

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 \sqrt{185193} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.11

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.11.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 \sqrt{3249 (57)} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.11.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 \sqrt{57^{2} \cdot 57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (57 \sqrt{57}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.13

Multipliez $57$ par $12$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{4}$ comme $57^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{4}{2}}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.4.14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{1}}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.14.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 57^{2}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.15

Élevez $57$ à la puissance $2$ .

$\frac{81 + 108 \sqrt{57} + 3078 + 684 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.5

Additionnez $81$ et $3078$ .

$\frac{3159 + 108 \sqrt{57} + 684 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.6

Additionnez $3159$ et $3249$ .

$\frac{6408 + 108 \sqrt{57} + 684 \sqrt{57}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.7

Additionnez $108 \sqrt{57}$ et $684 \sqrt{57}$ .

$\frac{6408 + 792 \sqrt{57}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.8

Annulez le facteur commun à $6408 + 792 \sqrt{57}$ et $4096$ .

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Étape 1.4.2.2.1.8.1

Factorisez $8$ à partir de $6408$ .

$\frac{8 (801) + 792 \sqrt{57}}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.8.2

Factorisez $8$ à partir de $792 \sqrt{57}$ .

$\frac{8 (801) + 8 (99 \sqrt{57})}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.8.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (801) + 8 (99 \sqrt{57})$ .

$\frac{8 (801 + 99 \sqrt{57})}{4096} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.8.4.1

Factorisez $8$ à partir de $4096$ .

$\frac{8 (801 + 99 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (801 + 99 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.10

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.11

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} \sqrt{57} + 3 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.12.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} \sqrt{57} + 3 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.1.12.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.12.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} \sqrt{57} + 3 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3^{1 + 2} \sqrt{57} + 3 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3^{3} \sqrt{57} + 3 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 3 \cdot 3 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 9 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.5

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

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Étape 1.4.2.2.1.12.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 9 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.12.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{1} + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57 + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.6

Multipliez $9$ par $57$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 513 + {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.7

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 513 + \sqrt{57^{3}}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.8

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 513 + \sqrt{185193}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.9

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

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Étape 1.4.2.2.1.12.9.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 513 + \sqrt{3249 (57)}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.9.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 513 + \sqrt{57^{2} \cdot 57}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.12.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 \sqrt{57} + 513 + 57 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.13

Additionnez $27$ et $513$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{540 + 27 \sqrt{57} + 57 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.14

Additionnez $27 \sqrt{57}$ et $57 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{540 + 84 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.15

Annulez le facteur commun à $540 + 84 \sqrt{57}$ et $512$ .

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Étape 1.4.2.2.1.15.1

Factorisez $4$ à partir de $540$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135) + 84 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.15.2

Factorisez $4$ à partir de $84 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135) + 4 (21 \sqrt{57})}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.15.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (135) + 4 (21 \sqrt{57})$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135 + 21 \sqrt{57})}{512} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.15.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.15.4.1

Factorisez $4$ à partir de $512$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135 + 21 \sqrt{57})}{4 \cdot 128} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.15.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135 + 21 \sqrt{57})}{4 \cdot 128} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.15.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{135 + 21 \sqrt{57}}{128} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.16

Associez $- 5$ et $\frac{135 + 21 \sqrt{57}}{128}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} + \frac{- 5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{(5) (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.18

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.19

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.20

Réécrivez ${(3 + \sqrt{57})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57})$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{(3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.21

Développez $(3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.2.2.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{3 (3 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (3 + \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.21.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} (3 + \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.21.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 3 + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.2.1.22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.22.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 3 + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{57}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 + 3 \sqrt{57} + 3 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22.1.4

Multipliez $57$ par $57$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{3249}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22.1.5

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + 57}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22.2

Additionnez $9$ et $57$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{66 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.22.3

Additionnez $3 \sqrt{57}$ et $3 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{66 + 6 \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.23

Annulez le facteur commun à $66 + 6 \sqrt{57}$ et $64$ .

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Étape 1.4.2.2.1.23.1

Factorisez $2$ à partir de $66$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33) + 6 \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.23.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33) + 2 (3 \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.23.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (33) + 2 (3 \sqrt{57})$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33 + 3 \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.23.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.23.4.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33 + 3 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.23.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33 + 3 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.23.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{33 + 3 \sqrt{57}}{32} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.24

Associez $3$ et $\frac{33 + 3 \sqrt{57}}{32}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{32} + 9 (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.2.2.1.25

Associez $9$ et $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{32} + \frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Multipliez $\frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - (\frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{32} + \frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{5 (135 + 21 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{32} + \frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{32}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{32}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8} \cdot \frac{64}{64} - 3$

Étape 1.4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{9 (3 + \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} - 3$

Étape 1.4.2.2.2.7

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.8

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

Étape 1.4.2.2.2.9

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

Étape 1.4.2.2.2.10

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 4$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.2.11

Multipliez $4$ par $128$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $32 \cdot 16$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{16 \cdot 32} + \frac{9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.2.13

Multipliez $16$ par $32$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{512} + \frac{9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.2.14

Multipliez $8$ par $64$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{512} + \frac{9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64}{512} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 5 (135 + 21 \sqrt{57}) \cdot 4 + 3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} + (- 5 \cdot 135 - 5 (21 \sqrt{57})) \cdot 4 + 3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Multipliez $- 5$ par $135$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} + (- 675 - 5 (21 \sqrt{57})) \cdot 4 + 3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Multipliez $21$ par $- 5$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} + (- 675 - 105 \sqrt{57}) \cdot 4 + 3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 675 \cdot 4 - 105 \sqrt{57} \cdot 4 + 3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.5

Multipliez $- 675$ par $4$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 105 \sqrt{57} \cdot 4 + 3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.6

Multipliez $4$ par $- 105$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 3 (33 + 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + (3 \cdot 33 + 3 (3 \sqrt{57})) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.8

Multipliez $3$ par $33$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + (99 + 3 (3 \sqrt{57})) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.9

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + (99 + 9 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 99 \cdot 16 + 9 \sqrt{57} \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.11

Multipliez $99$ par $16$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 9 \sqrt{57} \cdot 16 + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.12

Multipliez $16$ par $9$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + 9 (3 + \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + (9 \cdot 3 + 9 \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.14

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + (27 + 9 \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.15

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + 27 \cdot 64 + 9 \sqrt{57} \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.16

Multipliez $27$ par $64$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + 1728 + 9 \sqrt{57} \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.17

Multipliez $64$ par $9$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + 1728 + 576 \sqrt{57} - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.2.2.4.18

Multipliez $- 3$ par $512$ .

$\frac{801 + 99 \sqrt{57} - 2700 - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + 1728 + 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Soustrayez $2700$ de $801$ .

$\frac{- 1899 + 99 \sqrt{57} - 420 \sqrt{57} + 1584 + 144 \sqrt{57} + 1728 + 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.5.2.1

Additionnez $- 1899$ et $1584$ .

$\frac{- 315 + 99 \sqrt{57} - 420 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} + 1728 + 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.2.2

Additionnez $- 315$ et $1728$ .

$\frac{1413 + 99 \sqrt{57} - 420 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} + 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.2.3

Soustrayez $1536$ de $1413$ .

$\frac{- 123 + 99 \sqrt{57} - 420 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} + 576 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Soustrayez $420 \sqrt{57}$ de $99 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 123 - 321 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} + 576 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.4

Additionnez $- 321 \sqrt{57}$ et $144 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 123 - 177 \sqrt{57} + 576 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.5

Additionnez $- 177 \sqrt{57}$ et $576 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 123 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.6

Réécrivez $- 123$ comme $- 1 (123)$ .

$\frac{- 1 (123) + 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $399 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 1 (123) - (- 399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (123) - (- 399 \sqrt{57})$ .

$\frac{- 1 (123 - 399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 1.4.2.2.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{123 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

${(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{4} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{3^{4} + 4 \cdot 3^{3} (- \sqrt{57}) + 6 \cdot 3^{2} {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{81 + 4 \cdot 3^{3} (- \sqrt{57}) + 6 \cdot 3^{2} {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{81 + 4 \cdot 27 (- \sqrt{57}) + 6 \cdot 3^{2} {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{81 + 108 (- \sqrt{57}) + 6 \cdot 3^{2} {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 6 \cdot 3^{2} {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 6 \cdot 9 {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.6

Multipliez $6$ par $9$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 (1 {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.9

Multipliez ${\sqrt{57}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.10

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.10.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.4.3.2.1.4.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57^{1} + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.10.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 54 \cdot 57 + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.11

Multipliez $54$ par $57$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 4 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{57}}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (- {\sqrt{57}}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.15

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (- \sqrt{57^{3}}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.16

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (- \sqrt{185193}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.17

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.17.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (- \sqrt{3249 (57)}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.17.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (- \sqrt{57^{2} \cdot 57}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (- (57 \sqrt{57})) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.19

Multipliez $57$ par $- 1$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 + 12 (- 57 \sqrt{57}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.20

Multipliez $- 57$ par $12$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.21

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 1 {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.23

Multipliez ${\sqrt{57}}^{4}$ par $1$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{4}$ comme $57^{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{4}{2}}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.4.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{1}}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 57^{2}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.4.25

Élevez $57$ à la puissance $2$ .

$\frac{81 - 108 \sqrt{57} + 3078 - 684 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.5

Additionnez $81$ et $3078$ .

$\frac{3159 - 108 \sqrt{57} - 684 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.6

Additionnez $3159$ et $3249$ .

$\frac{6408 - 108 \sqrt{57} - 684 \sqrt{57}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.7

Soustrayez $684 \sqrt{57}$ de $- 108 \sqrt{57}$ .

$\frac{6408 - 792 \sqrt{57}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.8

Annulez le facteur commun à $6408 - 792 \sqrt{57}$ et $4096$ .

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Étape 1.4.3.2.1.8.1

Factorisez $8$ à partir de $6408$ .

$\frac{8 (801) - 792 \sqrt{57}}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.8.2

Factorisez $8$ à partir de $- 792 \sqrt{57}$ .

$\frac{8 (801) + 8 (- 99 \sqrt{57})}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.8.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (801) + 8 (- 99 \sqrt{57})$ .

$\frac{8 (801 - 99 \sqrt{57})}{4096} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.8.4.1

Factorisez $8$ à partir de $4096$ .

$\frac{8 (801 - 99 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (801 - 99 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{3} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.10

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.11

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- \sqrt{57}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.12.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} (- \sqrt{57}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.2.1.12.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.12.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- \sqrt{57}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{57}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 3^{3} (- \sqrt{57}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 + 27 (- \sqrt{57}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 (1 {\sqrt{57}}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.8

Multipliez ${\sqrt{57}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 {\sqrt{57}}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.9

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

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Étape 1.4.3.2.1.12.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.12.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57^{1} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 9 \cdot 57 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.10

Multipliez $9$ par $57$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 - {\sqrt{57}}^{3}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.13

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 - \sqrt{57^{3}}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.14

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 - \sqrt{185193}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.15

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

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Étape 1.4.3.2.1.12.15.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 - \sqrt{3249 (57)}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.15.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 - \sqrt{57^{2} \cdot 57}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 - (57 \sqrt{57})}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.12.17

Multipliez $57$ par $- 1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{27 - 27 \sqrt{57} + 513 - 57 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.13

Additionnez $27$ et $513$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{540 - 27 \sqrt{57} - 57 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.14

Soustrayez $57 \sqrt{57}$ de $- 27 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{540 - 84 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.15

Annulez le facteur commun à $540 - 84 \sqrt{57}$ et $512$ .

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Étape 1.4.3.2.1.15.1

Factorisez $4$ à partir de $540$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135) - 84 \sqrt{57}}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.15.2

Factorisez $4$ à partir de $- 84 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135) + 4 (- 21 \sqrt{57})}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.15.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (135) + 4 (- 21 \sqrt{57})$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135 - 21 \sqrt{57})}{512} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.15.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.15.4.1

Factorisez $4$ à partir de $512$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135 - 21 \sqrt{57})}{4 \cdot 128} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.15.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{4 (135 - 21 \sqrt{57})}{4 \cdot 128} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.15.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - 5 \frac{135 - 21 \sqrt{57}}{128} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.16

Associez $- 5$ et $\frac{135 - 21 \sqrt{57}}{128}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} + \frac{- 5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{(5) (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.18

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.19

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.20

Réécrivez ${(3 - \sqrt{57})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57})$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{(3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.21

Développez $(3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.3.2.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{3 (3 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (3 - \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.21.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (3 - \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.21.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.3.2.1.22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.22.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.4

Multipliez $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ .

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Étape 1.4.3.2.1.22.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.4.2

Multipliez $\sqrt{57}$ par $1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.4.3

Élevez $\sqrt{57}$ à la puissance $1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.4.4

Élevez $\sqrt{57}$ à la puissance $1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.5

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

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Étape 1.4.3.2.1.22.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.22.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{1}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.2

Additionnez $9$ et $57$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{66 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.22.3

Soustrayez $3 \sqrt{57}$ de $- 3 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{66 - 6 \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.23

Annulez le facteur commun à $66 - 6 \sqrt{57}$ et $64$ .

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Étape 1.4.3.2.1.23.1

Factorisez $2$ à partir de $66$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33) - 6 \sqrt{57}}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.23.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{57}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33) + 2 (- 3 \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.23.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (33) + 2 (- 3 \sqrt{57})$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33 - 3 \sqrt{57})}{64} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.23.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.23.4.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33 - 3 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.23.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{2 (33 - 3 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.23.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + 3 \frac{33 - 3 \sqrt{57}}{32} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.24

Associez $3$ et $\frac{33 - 3 \sqrt{57}}{32}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{32} + 9 (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3$

Étape 1.4.3.2.1.25

Associez $9$ et $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{32} + \frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Multipliez $\frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - (\frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{32} + \frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.3.2.2.2

Multipliez $\frac{5 (135 - 21 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{32} + \frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.3.2.2.3

Multipliez $\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{32}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.3.2.2.4

Multipliez $\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{32}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8} - 3$

Étape 1.4.3.2.2.5

Multipliez $\frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8} \cdot \frac{64}{64} - 3$

Étape 1.4.3.2.2.6

Multipliez $\frac{9 (3 - \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} - 3$

Étape 1.4.3.2.2.7

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3}{1}$

Étape 1.4.3.2.2.8

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

Étape 1.4.3.2.2.9

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

Étape 1.4.3.2.2.10

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 4$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.2.11

Multipliez $4$ par $128$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $32 \cdot 16$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{16 \cdot 32} + \frac{9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.2.13

Multipliez $16$ par $32$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{512} + \frac{9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.2.14

Multipliez $8$ par $64$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57}}{512} - \frac{5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} + \frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16}{512} + \frac{9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64}{512} + \frac{- 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 5 (135 - 21 \sqrt{57}) \cdot 4 + 3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} + (- 5 \cdot 135 - 5 (- 21 \sqrt{57})) \cdot 4 + 3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.2

Multipliez $- 5$ par $135$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} + (- 675 - 5 (- 21 \sqrt{57})) \cdot 4 + 3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.3

Multipliez $- 21$ par $- 5$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} + (- 675 + 105 \sqrt{57}) \cdot 4 + 3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 675 \cdot 4 + 105 \sqrt{57} \cdot 4 + 3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.5

Multipliez $- 675$ par $4$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 105 \sqrt{57} \cdot 4 + 3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.6

Multipliez $4$ par $105$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 3 (33 - 3 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + (3 \cdot 33 + 3 (- 3 \sqrt{57})) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.8

Multipliez $3$ par $33$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + (99 + 3 (- 3 \sqrt{57})) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.9

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + (99 - 9 \sqrt{57}) \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 99 \cdot 16 - 9 \sqrt{57} \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.11

Multipliez $99$ par $16$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 9 \sqrt{57} \cdot 16 + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.12

Multipliez $16$ par $- 9$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + 9 (3 - \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + (9 \cdot 3 + 9 (- \sqrt{57})) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.14

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + (27 + 9 (- \sqrt{57})) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.15

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + (27 - 9 \sqrt{57}) \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + 27 \cdot 64 - 9 \sqrt{57} \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.17

Multipliez $27$ par $64$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + 1728 - 9 \sqrt{57} \cdot 64 - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.18

Multipliez $64$ par $- 9$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + 1728 - 576 \sqrt{57} - 3 \cdot 512}{512}$

Étape 1.4.3.2.4.19

Multipliez $- 3$ par $512$ .

$\frac{801 - 99 \sqrt{57} - 2700 + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + 1728 - 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.3.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.3.2.5.1

Soustrayez $2700$ de $801$ .

$\frac{- 1899 - 99 \sqrt{57} + 420 \sqrt{57} + 1584 - 144 \sqrt{57} + 1728 - 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.5.2.1

Additionnez $- 1899$ et $1584$ .

$\frac{- 315 - 99 \sqrt{57} + 420 \sqrt{57} - 144 \sqrt{57} + 1728 - 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.2.2

Additionnez $- 315$ et $1728$ .

$\frac{1413 - 99 \sqrt{57} + 420 \sqrt{57} - 144 \sqrt{57} - 576 \sqrt{57} - 1536}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.2.3

Soustrayez $1536$ de $1413$ .

$\frac{- 123 - 99 \sqrt{57} + 420 \sqrt{57} - 144 \sqrt{57} - 576 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.3

Additionnez $- 99 \sqrt{57}$ et $420 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 123 + 321 \sqrt{57} - 144 \sqrt{57} - 576 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.4

Soustrayez $144 \sqrt{57}$ de $321 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 123 + 177 \sqrt{57} - 576 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.5

Soustrayez $576 \sqrt{57}$ de $177 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 123 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.6

Réécrivez $- 123$ comme $- 1 (123)$ .

$\frac{- 1 (123) - 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 399 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 1 (123) - (399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (123) - (399 \sqrt{57})$ .

$\frac{- 1 (123 + 399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 1.4.3.2.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{123 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(3, - 3), (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}, - \frac{123 - 399 \sqrt{57}}{512}), (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{123 + 399 \sqrt{57}}{512})$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}) \cup (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}, \frac{3 + \sqrt{57}}{8}) \cup (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 3$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{57}}{8})$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 15 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 9$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 15 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 9$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 15 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 9$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - 108 - 15 \cdot 9 + 6 (- 3) + 9$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $9$ .

$f' (- 3) = - 108 - 135 + 6 (- 3) + 9$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 - 135 - 18 + 9$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $135$ de $- 108$ .

$f' (- 3) = - 243 - 18 + 9$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $18$ de $- 243$ .

$f' (- 3) = - 261 + 9$

Étape 2.2.2.2.3

Additionnez $- 261$ et $9$ .

$f' (- 3) = - 252$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $- 252$ .

$- 252$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(\frac{3 - \sqrt{57}}{8}, \frac{3 + \sqrt{57}}{8})$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 15 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 15 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$

Étape 2.3.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 15 \cdot 0 + 6 (0) + 9$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 6 (0) + 9$

Étape 2.3.2.1.5

Multipliez $6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Étape 2.3.2.2.3

Additionnez $0$ et $9$ .

$f' (0) = 9$

Étape 2.3.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 2.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(\frac{3 + \sqrt{57}}{8}, 3)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2} + 6 (2) + 9$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 15 {(2)}^{2} + 6 (2) + 9$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 32 - 15 {(2)}^{2} + 6 (2) + 9$

Étape 2.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 32 - 15 \cdot 4 + 6 (2) + 9$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$f' (2) = 32 - 60 + 6 (2) + 9$

Étape 2.4.2.1.5

Multipliez $6$ par $2$ .

$f' (2) = 32 - 60 + 12 + 9$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.4.2.2.1

Soustrayez $60$ de $32$ .

$f' (2) = - 28 + 12 + 9$

Étape 2.4.2.2.2

Additionnez $- 28$ et $12$ .

$f' (2) = - 16 + 9$

Étape 2.4.2.2.3

Additionnez $- 16$ et $9$ .

$f' (2) = - 7$

Étape 2.4.2.3

La réponse finale est $- 7$ .

$- 7$

Étape 2.5

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 15 {(6)}^{2} + 6 (6) + 9$

Étape 2.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 15 {(6)}^{2} + 6 (6) + 9$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $216$ .

$f' (6) = 864 - 15 {(6)}^{2} + 6 (6) + 9$

Étape 2.5.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 864 - 15 \cdot 36 + 6 (6) + 9$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $36$ .

$f' (6) = 864 - 540 + 6 (6) + 9$

Étape 2.5.2.1.5

Multipliez $6$ par $6$ .

$f' (6) = 864 - 540 + 36 + 9$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Soustrayez $540$ de $864$ .

$f' (6) = 324 + 36 + 9$

Étape 2.5.2.2.2

Additionnez $324$ et $36$ .

$f' (6) = 360 + 9$

Étape 2.5.2.2.3

Additionnez $360$ et $9$ .

$f' (6) = 369$

Étape 2.5.2.3

La réponse finale est $369$ .

$369$

Étape 2.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ , $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ est un minimum local.

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ est un minimum local

Étape 2.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ , $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ est un maximum local.

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ est un maximum local

Étape 2.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 3$ , $x = 3$ est un minimum local.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 2.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ est un minimum local

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ est un maximum local

$x = 3$ est un minimum local

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ est un minimum local

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ est un maximum local

$x = 3$ est un minimum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(\frac{3 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{123 + 399 \sqrt{57}}{512})$

Étape 4