Algèbre Exemples

$x^{2} + 16 y^{2} = 4$

Étape 1

Divisez chaque terme par $4$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{16 y^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Étape 3

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 4

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 5

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}{2}$

Étape 7.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{4 - \frac{1}{2^{2}}}}{2}$

Étape 7.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - \frac{1}{4}}}{2}$

Étape 7.1.5

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}{2}$

Étape 7.1.6

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}}{2}$

Étape 7.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4 - 1}{4}}}{2}$

Étape 7.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.8.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{16 - 1}{4}}}{2}$

Étape 7.1.8.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{\frac{15}{4}}}{2}$

Étape 7.1.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{15}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}}{2}$

Étape 7.1.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}$

Étape 7.1.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{2}$

Étape 7.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{15}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

Forme décimale :

$0.96824583 \dots$

Étape 9