Algèbre Exemples

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})))}^{4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6})))}^{4}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{4}$

Étape 1.3

Associez $i$ et $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{4}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

${(\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{i}{2})}^{4}$

Étape 3

Multipliez $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{i}{2})}^{4}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{i}{2})}^{4}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \sqrt{3} \frac{i}{2})}^{4}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \sqrt{3} \frac{i}{2})}^{4}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \sqrt{3} \frac{i}{2})}^{4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{3^{1}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 5

Utilisez le théorème du binôme.

${(\frac{3}{2})}^{4} + 4 {(\frac{3}{2})}^{3} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 4 {(\frac{3}{2})}^{3} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} + 4 {(\frac{3}{2})}^{3} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{81}{16} + 4 {(\frac{3}{2})}^{3} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(\frac{3}{2})}^{3}$ .

$\frac{81}{16} + 2 (2 {(\frac{3}{2})}^{3}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + 2 (2 {(\frac{3}{2})}^{3}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + 2 {(\frac{3}{2})}^{3} (\sqrt{3} i) + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 \frac{3^{3}}{2^{3}} (\sqrt{3} i) + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 \frac{27}{2^{3}} (\sqrt{3} i) + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (\frac{27}{8}) (\sqrt{3} i) + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \frac{27}{2 (4)} (\sqrt{3} i) + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + 2 \frac{27}{2 \cdot 4} (\sqrt{3} i) + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + \frac{27}{4} (\sqrt{3} i) + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.9

Multipliez $\frac{27}{4} (\sqrt{3} i)$ .

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Étape 6.1.9.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{27}{4}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 27}{4} i + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.9.2

Associez $\frac{\sqrt{3} \cdot 27}{4}$ et $i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 27 i}{4} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.10

Déplacez $27$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 {(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{3^{2}}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{9}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 (\frac{9}{4}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 (3) \frac{9}{4} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 3 (\frac{9}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.15

Associez $3$ et $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 \cdot 9}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.16

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.17

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.17.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.17.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.18

Associez.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.19.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 6.1.19.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.20.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.20.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.20.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.3

Associez les exposants.

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Étape 6.1.20.3.1

Multipliez $27$ par $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{81 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.3.2

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{2^{3}} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.21

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 4 (\frac{3}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.23.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 (2) \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot 2 \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot 3 {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.24

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.25

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.25.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.25.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.26.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.26.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.5

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.7

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.8

Associez les exposants.

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Étape 6.1.26.8.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.27

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 6 \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.28

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.28.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 (3) \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.28.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot 3 \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.28.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot 3 \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.28.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 3 \frac{- 3 \sqrt{3} i}{4} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.29

Associez $3$ et $\frac{- 3 \sqrt{3} i}{4}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + \frac{3 (- 3 \sqrt{3} i)}{4} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.30

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + \frac{- 9 (\sqrt{3} i)}{4} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.31

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.32.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{{(\sqrt{3} i)}^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.32.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.33.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 6.1.33.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{4}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.1.33.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.33.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2}{1}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{2} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.3

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 6.1.33.3.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 {(i^{2})}^{2}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 {(- 1)}^{2}}{2^{4}}$

Étape 6.1.33.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 \cdot 1}{2^{4}}$

Étape 6.1.34

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 \cdot 1}{16}$

Étape 6.1.35

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9}{16}$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 + 9}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i - 9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.2.2

Additionnez $81$ et $9$ .

$\frac{90}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i - 9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $9 \sqrt{3} i$ de $27 \sqrt{3} i$ .

$\frac{90}{16} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun à $90$ et $16$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $90$ .

$\frac{2 (45)}{16} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{45}{8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18 \sqrt{3} i$ .

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{4} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{2 (2)} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{2 \cdot 2} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{45}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 81}{8}$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{45}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2} - \frac{81}{8}$

Étape 6.4

Associez les fractions.

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Étape 6.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45 - 81}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $81$ de $45$ .

$\frac{- 36}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $8$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

$\frac{4 (- 9)}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 6.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 6.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 6.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 9}{2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 6.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$