Algèbre Exemples

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$

Étape 1

Écrivez $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ comme une fonction.

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 30$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $20 x^{3} - 60 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$

Étape 6.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$5 u^{2} - 30 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 6.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = - 30$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1.1

Élevez $- 30$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5.1.3

Soustrayez $180$ de $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5.1.4

Réécrivez $720$ comme $12^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.5.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $720$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Étape 6.5.3

Simplifiez $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Élevez $- 30$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

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Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.6.1.3

Soustrayez $180$ de $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez $720$ comme $12^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.6.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $720$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.6.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Étape 6.6.3

Simplifiez $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{15 + 6 \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.1.1

Élevez $- 30$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.7.1.3

Soustrayez $180$ de $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.7.1.4

Réécrivez $720$ comme $12^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.7.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $720$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.7.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Étape 6.7.3

Simplifiez $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{15 - 6 \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{15 + 6 \sqrt{5}}{5}, \frac{15 - 6 \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 5.68328157$

${(x^{2})}^{1} = 0.31671842$

Étape 6.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 5.68328157$

Étape 6.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5.68328157}$

Étape 6.11.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.11.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5.68328157}$

Étape 6.11.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5.68328157}$

Étape 6.11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}$

Étape 6.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.31671842$

Étape 6.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 0.31671842$

Étape 6.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.31671842}$

Étape 6.13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{0.31671842}$

Étape 6.13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{0.31671842}$

Étape 6.13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Étape 6.14

La solution à $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$ est $x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$ .

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{5.68328157}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ comme $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$20 \sqrt{{5.68328157}^{3}} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Étape 10.2

Élevez $5.68328157$ à la puissance $3$ .

$20 \sqrt{183.56822979} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Étape 11

$x = \sqrt{5.68328157}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{5.68328157}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{5.68328157}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{5.68328157}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{5.68328157}) = {(\sqrt{5.68328157})}^{5} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5.68328157}}^{5}$ comme $\sqrt{{5.68328157}^{5}}$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{{5.68328157}^{5}} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Étape 12.2.1.2

Élevez $5.68328157$ à la puissance $5$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ comme $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{{5.68328157}^{3}} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Étape 12.2.1.4

Élevez $5.68328157$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$

Étape 12.2.2

La réponse finale est $\sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$ .

$y = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{5.68328157}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5.68328157}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5.68328157}}^{3}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 14.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$20 (- {\sqrt{5.68328157}}^{3}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 14.3

Réécrivez ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ comme $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{{5.68328157}^{3}}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 14.4

Élevez $5.68328157$ à la puissance $3$ .

$20 (- \sqrt{183.56822979}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 14.5

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 \sqrt{183.56822979} - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 14.6

Multipliez $- 1$ par $- 60$ .

$- 20 \sqrt{183.56822979} + 60 \sqrt{5.68328157}$

Étape 15

$x = - \sqrt{5.68328157}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{5.68328157}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{5.68328157}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{5.68328157}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{5.68328157}) = {(- \sqrt{5.68328157})}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5.68328157}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{5.68328157}}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - {\sqrt{5.68328157}}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5.68328157}}^{5}$ comme $\sqrt{{5.68328157}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{{5.68328157}^{5}} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.4

Élevez $5.68328157$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5.68328157}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5.68328157}}^{3}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- {\sqrt{5.68328157}}^{3}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ comme $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- \sqrt{{5.68328157}^{3}}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.8

Élevez $5.68328157$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- \sqrt{183.56822979}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Étape 16.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$

Étape 16.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$ .

$y = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{0.31671842}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Étape 18

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Réécrivez ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$20 \sqrt{{0.31671842}^{3}} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Étape 18.2

Élevez $0.31671842$ à la puissance $3$ .

$20 \sqrt{0.0317702} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Étape 19

$x = \sqrt{0.31671842}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{0.31671842}$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{0.31671842}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{0.31671842}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{0.31671842}) = {(\sqrt{0.31671842})}^{5} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{0.31671842}}^{5}$ comme $\sqrt{{0.31671842}^{5}}$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{{0.31671842}^{5}} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Étape 20.2.1.2

Élevez $0.31671842$ à la puissance $5$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Étape 20.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{{0.31671842}^{3}} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Étape 20.2.1.4

Élevez $0.31671842$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$

Étape 20.2.2

La réponse finale est $\sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$ .

$y = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{0.31671842}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 22

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.31671842}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.31671842}}^{3}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 22.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$20 (- {\sqrt{0.31671842}}^{3}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 22.3

Réécrivez ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{{0.31671842}^{3}}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 22.4

Élevez $0.31671842$ à la puissance $3$ .

$20 (- \sqrt{0.0317702}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 22.5

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 \sqrt{0.0317702} - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 22.6

Multipliez $- 1$ par $- 60$ .

$- 20 \sqrt{0.0317702} + 60 \sqrt{0.31671842}$

Étape 23

$x = - \sqrt{0.31671842}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{0.31671842}$ est un minimum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{0.31671842}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{0.31671842}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{0.31671842}) = {(- \sqrt{0.31671842})}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.31671842}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{0.31671842}}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - {\sqrt{0.31671842}}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{0.31671842}}^{5}$ comme $\sqrt{{0.31671842}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{{0.31671842}^{5}} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.4

Élevez $0.31671842$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.31671842}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.31671842}}^{3}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- {\sqrt{0.31671842}}^{3}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- \sqrt{{0.31671842}^{3}}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.8

Élevez $0.31671842$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- \sqrt{0.0317702}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Étape 24.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$

Étape 24.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$ .

$y = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$

Étape 25

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ .

$(\sqrt{5.68328157}, \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157})$ est un minimum local

$(- \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157})$ est un maximum local

$(\sqrt{0.31671842}, \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842})$ est un maximum local

$(- \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842})$ est un minimum local

Étape 26