Algèbre Exemples

$(- 3, 5)$ , $(0, - 14)$

Étape 1

L’équation générale d’une parabole avec sommet $(h, k)$ est $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . Dans ce cas nous avons $(- 3, 5)$ comme sommet $(h, k)$ et $(0, - 14)$ est un point $(x, y)$ sur la parabole. Pour déterminer $a$ , remplacez les deux points dans $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$- 14 = a {(0 - (- 3))}^{2} + 5$

Étape 2

Utilisation de $- 14 = a {(0 - (- 3))}^{2} + 5$ pour résoudre $a$ , $a = - \frac{19}{9}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a {(0 - (- 3))}^{2} + 5 = - 14$ .

$a {(0 - (- 3))}^{2} + 5 = - 14$

Étape 2.2

Simplifiez $a {(0 - (- 3))}^{2} + 5$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $- 3$ de $0$ .

$a {(- (- 3))}^{2} + 5 = - 14$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a \cdot 3^{2} + 5 = - 14$

Étape 2.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$a \cdot 9 + 5 = - 14$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $9$ à gauche de $a$ .

$9 a + 5 = - 14$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$9 a = - 14 - 5$

Étape 2.3.2

Soustrayez $5$ de $- 14$ .

$9 a = - 19$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $9 a = - 19$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $9 a = - 19$ par $9$ .

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 19}{9}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 19}{9}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- 19}{9}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{19}{9}$

Étape 3

Avec $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , l’équation générale de la parabole avec le sommet $(- 3, 5)$ et $a = - \frac{19}{9}$ est $y = (- \frac{19}{9}) {(x - (- 3))}^{2} + 5$ .

$y = (- \frac{19}{9}) {(x - (- 3))}^{2} + 5$

Étape 4

Résolvez $y = (- \frac{19}{9}) {(x - (- 3))}^{2} + 5$ pour $y$ .

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{19}{9}) {(x - (- 3))}^{2} + 5$

Étape 4.2

Multipliez $- \frac{19}{9}$ par ${(x - (- 3))}^{2}$ .

$y = - \frac{19}{9} \cdot {(x - (- 3))}^{2} + 5$

Étape 4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{19}{9}) {(x - (- 3))}^{2} + 5$

Étape 4.4

Simplifiez $(- \frac{19}{9}) {(x - (- 3))}^{2} + 5$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - \frac{19}{9} {(x + 3)}^{2} + 5$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$y = - \frac{19}{9} ((x + 3) (x + 3)) + 5$

Étape 4.4.1.3

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{19}{9} (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 5$

Étape 4.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{19}{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 5$

Étape 4.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{19}{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 5$

Étape 4.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - \frac{19}{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 5$

Étape 4.4.1.4.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{19}{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 5$

Étape 4.4.1.4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{19}{9} (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 5$

Étape 4.4.1.4.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$y = - \frac{19}{9} (x^{2} + 6 x + 9) + 5$

Étape 4.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{19}{9} x^{2} - \frac{19}{9} (6 x) - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.4.1.6.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{19}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} - \frac{19}{9} (6 x) - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.4.1.6.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{19}{9}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 19}{9} (6 x) - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.2.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 19}{3 (3)} (6 x) - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.2.3

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 19}{3 (3)} (3 (2 x)) - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.2.4

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 19}{3 \cdot 3} (3 (2 x)) - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.2.5

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 19}{3} (2 x) - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.3

Associez $2$ et $\frac{- 19}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{2 \cdot - 19}{3} x - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.4

Multipliez $2$ par $- 19$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 38}{3} x - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.5

Associez $\frac{- 38}{3}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 38 x}{3} - \frac{19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.6

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.4.1.6.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{19}{9}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 38 x}{3} + \frac{- 19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 38 x}{3} + \frac{- 19}{9} \cdot 9 + 5$

Étape 4.4.1.6.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2} \cdot 19}{9} + \frac{- 38 x}{3} - 19 + 5$

Étape 4.4.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.7.1

Déplacez $19$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{19 \cdot x^{2}}{9} + \frac{- 38 x}{3} - 19 + 5$

Étape 4.4.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{19 x^{2}}{9} - \frac{38 x}{3} - 19 + 5$

Étape 4.4.2

Additionnez $- 19$ et $5$ .

$y = - \frac{19 x^{2}}{9} - \frac{38 x}{3} - 14$

Étape 5

La forme normalisée et le sommet sont les suivants.

Forme normalisée : $y = - \frac{19}{9} x^{2} - \frac{38}{3} x - 14$

Forme du sommet : $y = (- \frac{19}{9}) {(x - (- 3))}^{2} + 5$

Étape 6

Simplifiez la forme normalisée.

Forme normalisée : $y = - \frac{19}{9} x^{2} - \frac{38}{3} x - 14$

Forme du sommet : $y = - \frac{19}{9} {(x + 3)}^{2} + 5$

Étape 7