Algèbre Exemples

$9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x + 68 = 0$

Étape 1

Soustrayez $68$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x = - 68$

Étape 2

Complétez le carré pour $9 y^{2} + 54 y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{27}{9}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $9$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Étape 3

Remplacez $9 y^{2} + 54 y$ par $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x = - 68$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81 - x^{2} + 4 x = - 68$

Étape 4

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$9 {(y + 3)}^{2} - x^{2} + 4 x = - 68 + 81$

Étape 5

Complétez le carré pour $- x^{2} + 4 x$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2.1.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 5.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 5.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

Étape 6

Remplacez $- x^{2} + 4 x$ par $- {(x - 2)}^{2} + 4$ dans l’équation $9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x = - 68$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} + 4 = - 68 + 81$

Étape 7

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = - 68 + 81 - 4$

Étape 8

Simplifiez $- 68 + 81 - 4$ .

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Étape 8.1

Additionnez $- 68$ et $81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = 13 - 4$

Étape 8.2

Soustrayez $4$ de $13$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = 9$

Étape 9

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(y + 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(y + 3)}^{2} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1$

Étape 11

C’est la forme normalisée d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer l’excentricité.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 12

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Étape 13

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 14

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}}{1}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Divisez $\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 15.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Étape 15.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Étape 15.4

Additionnez $1$ et $9$ .

$\sqrt{10}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{10}$

Forme décimale :

$3.16227766 \dots$

Étape 17