Algèbre Exemples

$3 x^{2} + 4 x = y$ , $[0, 100]$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Étape 2

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Calculez $f (a) = f (0) = 3 {(0)}^{2} + 4 (0)$ .

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 (0)$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Étape 4.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 5

Calculez $f (b) = f (100) = 3 {(100)}^{2} + 4 (100)$ .

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$f (100) = 3 \cdot 10000 + 4 (100)$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $10000$ .

$f (100) = 30000 + 4 (100)$

Étape 5.1.3

Multipliez $4$ par $100$ .

$f (100) = 30000 + 400$

Étape 5.2

Additionnez $30000$ et $400$ .

$f (100) = 30400$

Étape 6

Comme $0$ est sur l’intervalle $[0, 30400]$ , résolvez l’équation pour $x$ à la racine en définissant $y$ sur $0$ dans $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{2} + 4 x = 0$ .

$3 x^{2} + 4 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 4 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$x (3 x + 4) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

Étape 7

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[0, 30400]$ car $f$ est une fonction continue sur $[0, 100]$ .

Les racines sur l’intervalle $[0, 100]$ se situent sur $x = 0$ .

Étape 8