Algèbre Exemples

$1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{2}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{2}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 1$ et $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez ${(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 6

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 7

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 8

Multipliez $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ par $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 9

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 9.2

Associez.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{2}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{2}{3} - 1)}$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 11.2

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{\frac{2^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.6

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.7

Associez $- 3$ et $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.9.1

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 81}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.9.2

Soustrayez $81$ de $16$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 - 3}$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{- 1}$

Étape 14

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{4} = \frac{\frac{65}{27}}{1}$

Étape 14.2

Divisez $\frac{65}{27}$ par $1$ .

$S_{4} = \frac{65}{27}$