Algèbre Exemples

$(3 - c^{2} d) (4 - 4 c^{2} d)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d c} [f (c) g (c)]$ est $f (c) \frac{d}{d c} [g (c)] + g (c) \frac{d}{d c} [f (c)]$ où $f (c) = 3 - c^{2} d$ et $g (c) = 4 - 4 c^{2} d$ .

$(3 - c^{2} d) \frac{d}{d c} [4 - 4 c^{2} d] + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 4 c^{2} d$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [4] + \frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]$ .

$(3 - c^{2} d) (\frac{d}{d c} [4] + \frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $4$ par rapport à $c$ est $0$ .

$(3 - c^{2} d) (0 + \frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d]$ .

$(3 - c^{2} d) \frac{d}{d c} [- 4 c^{2} d] + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2.4

Comme $- 4 d$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $- 4 c^{2} d$ par rapport à $c$ est $- 4 d \frac{d}{d c} [c^{2}]$ .

$(3 - c^{2} d) (- 4 d \frac{d}{d c} [c^{2}]) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ est $n c^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 - c^{2} d) (- 4 d (2 c)) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [3 - c^{2} d]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - c^{2} d$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [3] + \frac{d}{d c} [- c^{2} d]$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) (\frac{d}{d c} [3] + \frac{d}{d c} [- c^{2} d])$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $3$ par rapport à $c$ est $0$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) (0 + \frac{d}{d c} [- c^{2} d])$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d c} [- c^{2} d]$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) \frac{d}{d c} [- c^{2} d]$

Étape 2.10

Comme $- d$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $- c^{2} d$ par rapport à $c$ est $- d \frac{d}{d c} [c^{2}]$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) (- d \frac{d}{d c} [c^{2}])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ est $n c^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) (- d (2 c))$

Étape 2.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(3 - c^{2} d) (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) (- 2 d c)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- 8 d c) - c^{2} d (- 8 d c) + (4 - 4 c^{2} d) (- 2 d c)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- 8 d c) - c^{2} d (- 8 d c) + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- 24 (d c) - c^{2} d (- 8 d c) + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$- 24 d c + 8 c^{2} d (d c) + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.3

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$- 24 d c + 8 (c^{1} c^{2}) d \cdot d + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 d c + 8 c^{1 + 2} d \cdot d + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d \cdot d + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.6

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} (d^{1} d) + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.7

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} (d^{1} d^{1}) + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{1 + 1} + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} + 4 (- 2 d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 (d c) - 4 c^{2} d (- 2 d c)$

Étape 3.3.11

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 c^{2} d (d c)$

Étape 3.3.12

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 (c^{1} c^{2}) d \cdot d$

Étape 3.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 c^{1 + 2} d \cdot d$

Étape 3.3.14

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 c^{3} d \cdot d$

Étape 3.3.15

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 c^{3} (d^{1} d)$

Étape 3.3.16

Élevez $d$ à la puissance $1$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 c^{3} (d^{1} d^{1})$

Étape 3.3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 c^{3} d^{1 + 1}$

Étape 3.3.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 24 d c + 8 c^{3} d^{2} - 8 d c + 8 c^{3} d^{2}$

Étape 3.3.19

Soustrayez $8 d c$ de $- 24 d c$ .

$- 32 d c + 8 c^{3} d^{2} + 8 c^{3} d^{2}$

Étape 3.3.20

Additionnez $8 c^{3} d^{2}$ et $8 c^{3} d^{2}$ .

$- 32 d c + 16 c^{3} d^{2}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 32 c d + 16 c^{3} d^{2}$