Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 4 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 17 \\ 44 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $2 \times 2$ et la deuxième matrice est $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 3 x + 4 y \\ - 4 x + 3 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 17 \\ 44 \end{array}]$

Étape 2

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

$3 x + 4 y = 17$

$- 4 x + 3 y = 44$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $x$ dans $3 x + 4 y = 17$ .

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Étape 3.1.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = 17 - 4 y$

$- 4 x + 3 y = 44$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 17 - 4 y$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 17 - 4 y$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{17}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{17}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{17}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 4 x + 3 y = 44$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $- 4 x + 3 y = 44$ par $\frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$- 4 (\frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 4 (\frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (\frac{17}{3}) - 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 4 (\frac{17}{3})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{17}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 17}{3} - 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$\frac{- 68}{3} - 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{- 68}{3} - 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 4 (- \frac{4 y}{3})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 68}{3} + 4 (\frac{4 y}{3}) + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Associez $4$ et $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{- 68}{3} + \frac{4 (4 y)}{3} + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{- 68}{3} + \frac{16 y}{3} + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{- 68}{3} + \frac{16 y}{3} + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{68}{3} + \frac{16 y}{3} + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- \frac{68}{3} + \frac{16 y}{3} + 3 y = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $3 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{68}{3} + \frac{16 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $3 y$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{68}{3} + \frac{16 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{68}{3} + \frac{16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 68 + 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 68 + 16 y + 9 y}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.7

Additionnez $16 y$ et $9 y$ .

$\frac{- 68 + 25 y}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.8

Réécrivez $- 68$ comme $- 1 (68)$ .

$\frac{- 1 \cdot 68 + 25 y}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $25 y$ .

$\frac{- 1 \cdot 68 - (- 25 y)}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (68) - (- 25 y)$ .

$\frac{- 1 (68 - 25 y)}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{68 - 25 y}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- \frac{68 - 25 y}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- \frac{68 - 25 y}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- \frac{68 - 25 y}{3} = 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3

Résolvez $y$ dans $- \frac{68 - 25 y}{3} = 44$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{68 - 25 y}{3}) = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{68 - 25 y}{3})$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{68 - 25 y}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- (68 - 25 y)}{3} = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) (\frac{- (68 - 25 y)}{3}) = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot (- 1 \frac{- (68 - 25 y)}{3}) = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$68 - 25 y = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$68 - 25 y = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (68 - 25 y) = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Multipliez $68 - 25 y$ par $1$ .

$68 - 25 y = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$68 - 25 y = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$68 - 25 y = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$68 - 25 y = - 3 \cdot 44$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $- 3$ par $44$ .

$68 - 25 y = - 132$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$68 - 25 y = - 132$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$68 - 25 y = - 132$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $68$ des deux côtés de l’équation.

$- 25 y = - 132 - 68$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $68$ de $- 132$ .

$- 25 y = - 200$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 25 y = - 200$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $- 25 y = - 200$ par $- 25$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $- 25 y = - 200$ par $- 25$ .

$\frac{- 25 y}{- 25} = \frac{- 200}{- 25}$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 25$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 25 y}{- 25} = \frac{- 200}{- 25}$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 200}{- 25}$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 200}{- 25}$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 200}{- 25}$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Divisez $- 200$ par $- 25$ .

$y = 8$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = 8$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = 8$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = 8$

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $8$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{17}{3} - \frac{4 y}{3}$ par $8$ .

$x = \frac{17}{3} - \frac{4 (8)}{3}$

$y = 8$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\frac{17}{3} - \frac{4 (8)}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{17 - 4 \cdot 8}{3}$

$y = 8$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{17 - 32}{3}$

$y = 8$

Étape 3.4.2.1.2.2

Soustrayez $32$ de $17$ .

$x = \frac{- 15}{3}$

$y = 8$

Étape 3.4.2.1.2.3

Divisez $- 15$ par $3$ .

$x = - 5$

$y = 8$

$x = - 5$

$y = 8$

$x = - 5$

$y = 8$

$x = - 5$

$y = 8$

$x = - 5$

$y = 8$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = - 5, y = 8$