Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{5} + 17 x^{4} - 16 x^{3} - 5 x^{2} + x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Étape 1

Divisez en utilisant la division polynomiale longue.

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{5} + 21 x^{4} + 5 x^{3}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{4} - 21 x^{3} - 5 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Étape 1.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$x$

$0$

Étape 1.12

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{3} - x^{2} + \frac{x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Étape 2

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ et dont la somme est $b = 21$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $21$ à partir de $21 x$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + 21 (x) + 5}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $21$ comme $1$ plus $20$

$\frac{x}{4 x^{2} + (1 + 20) x + 5}$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{4 x^{2} + 1 x + 20 x + 5}$

Étape 2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + x + 20 x + 5}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x}{(4 x^{2} + x) + 20 x + 5}$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x}{x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1)}$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 1$ .

$\frac{x}{(4 x + 1) (x + 5)}$

Étape 2.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{4 x + 1}$

Étape 2.3

$\frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$

Étape 2.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(4 x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $4 x + 1$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun de $4 x + 1$ .

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Étape 2.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{A (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.7.1.2

Divisez $(A) (x + 5)$ par $1$ .

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.7.3

Déplacez $5$ à gauche de $A$ .

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 2.7.4.2

Divisez $(B) (4 x + 1)$ par $1$ .

$x = A x + 5 A + (B) (4 x + 1)$

Étape 2.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x + 5 A + B (4 x) + B \cdot 1$

Étape 2.7.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = A x + 5 A + 4 B x + B \cdot 1$

Étape 2.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$x = A x + 5 A + 4 B x + B$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Déplacez $B$ .

$x = A x + 5 A + 4 x B + B$

Étape 2.8.2

Déplacez $5 A$ .

$x = A x + 4 x B + 5 A + B$

Étape 3

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 3.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + 4 B$

Étape 3.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = 5 A + B$

Étape 3.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

Étape 4

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + 4 B$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + 4 B = 1$ .

$A + 4 B = 1$

$0 = 5 A + B$

Étape 4.1.2

Soustrayez $4 B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

Étape 4.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - 4 B$ dans chaque équation.

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Étape 4.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = 5 A + B$ par $1 - 4 B$ .

$0 = 5 (1 - 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $5 (1 - 4 B) + B$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.2.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 = 5 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.2.2.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $- 20 B$ et $B$ .

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.3

Résolvez $B$ dans $0 = 5 - 19 B$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $5 - 19 B = 0$ .

$5 - 19 B = 0$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 19 B = - 5$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.3.3

Divisez chaque terme dans $- 19 B = - 5$ par $- 19$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 19 B = - 5$ par $- 19$ .

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 19$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

Étape 4.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{5}{19}$ dans chaque équation.

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Étape 4.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - 4 B$ par $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 - 4 (\frac{5}{19})$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez $1 - 4 (\frac{5}{19})$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1.1

Multipliez $- 4 (\frac{5}{19})$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1.1

Associez $- 4$ et $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 + \frac{- 4 \cdot 5}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.4.2.1.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.2.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{19}{19} - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.4.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{19 - 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.4.2.1.2.3

Soustrayez $20$ de $19$ .

$A = \frac{- 1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.4.2.1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Étape 4.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{19}, B = \frac{5}{19}$

Étape 5

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $x^{3} - x^{2} + \frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{- \frac{1}{19}}{4 x + 1} + \frac{\frac{5}{19}}{x + 5}$