Algèbre Exemples

$f (x) = - 5 x^{2} - 6 - 4 x$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 5 x^{2} - 6 - 4 x$ comme une équation.

$y = - 5 x^{2} - 6 - 4 x$

Étape 2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 5 x^{2} - 6 - 4 x = y$

Étape 3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{2} - 4 x = y + 6$

Étape 4

Complétez le carré.

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 5$

$b = - 4$

$c = 0 = y + 6$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- 5)}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 4.3.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{2}{5}$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 5}$

Étape 4.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 5}$

Étape 4.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 5}$

Étape 4.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 5}$

Étape 4.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot - 5$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 5)}$

Étape 4.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 5}$

Étape 4.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{- 5}$

Étape 4.4.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{4}{5}$

Étape 4.4.2.1.3

Multipliez $- - \frac{4}{5}$ .

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Étape 4.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{4}{5})$

Étape 4.4.2.1.3.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{4}{5}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{4}{5}$ .

$e = \frac{4}{5}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} + \frac{4}{5}$ .

$- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} + \frac{4}{5} = y + 6$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $\frac{4}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + 6 - \frac{4}{5}$

Étape 5.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 5.3

Associez $6$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 5 - 4}{5}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + \frac{30 - 4}{5}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $4$ de $30$ .

$- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + \frac{26}{5}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + \frac{26}{5}$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2} = y + \frac{26}{5}$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5} + \frac{\frac{26}{5}}{- 5}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 {(x + \frac{2}{5})}^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5} + \frac{\frac{26}{5}}{- 5}$

Étape 6.2.1.2

Divisez ${(x + \frac{2}{5})}^{2}$ par $1$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = \frac{y}{- 5} + \frac{\frac{26}{5}}{- 5}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{y}{5} + \frac{\frac{26}{5}}{- 5}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{y}{5} + \frac{26}{5} \cdot \frac{1}{- 5}$

Étape 6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{y}{5} + \frac{26}{5} (- \frac{1}{5})$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $\frac{26}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Étape 6.3.1.4.1

Multipliez $\frac{26}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{y}{5} - \frac{26}{5 \cdot 5}$

Étape 6.3.1.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{y}{5} - \frac{26}{25}$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{y}{5} - \frac{26}{25}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{y}{5}$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - (\frac{y}{5}) - \frac{26}{25}$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{26}{25}$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - (\frac{y}{5}) - (\frac{26}{25})$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{y}{5}) - (\frac{26}{25})$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - (\frac{y}{5} + \frac{26}{25})$

Étape 7.2

Pour écrire $\frac{y}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - (\frac{y}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{26}{25})$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{y}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - (\frac{y \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{26}{25})$

Étape 7.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - (\frac{y \cdot 5}{25} + \frac{26}{25})$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{y \cdot 5 + 26}{25}$

Étape 7.5

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{5 y + 26}{25}$

Étape 7.6

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - (\frac{1}{25} (5 y + 26))$

Étape 7.7

Supprimez les parenthèses.

${(x + \frac{2}{5})}^{2} = - \frac{1}{25} (5 y + 26)$