Algèbre Exemples

$\cos (\frac{29 π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $\frac{29 π}{12}$ peut être divisé en $\frac{9 π}{4} + \frac{π}{6}$ .

$\cos (\frac{9 π}{4} + \frac{π}{6})$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (\frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{9 π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$\cos (\frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{9 π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (\frac{9 π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (\frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.6

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.8

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.25881904 \dots$