Algèbre Exemples

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\tan (x) + \cot (x))$

Étape 2.3

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

Étape 2.4

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 3.11

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Étape 3.12

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Étape 3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Étape 5.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ est une identité