Algèbre Exemples

${(5 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{3}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{3}$

Étape 1.1.2

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{3}$

Étape 1.1.3

Associez $i$ et $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{3}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(5 \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{3}$

Étape 1.2.2

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{3}$

Étape 1.2.3

Associez $5$ et $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{125 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{125 \sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{125 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{125 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.6

Multipliez $125$ par $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{1}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3}{4} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.7

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{75}{4}) \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8

Multipliez $3 (\frac{75}{4})$ .

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Étape 3.1.8.1

Associez $3$ et $\frac{75}{4}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 75}{4} \cdot \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $3$ par $75$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{225}{4} \cdot \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.9

Multipliez $\frac{225}{4} \cdot \frac{5 i}{2}$ .

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Étape 3.1.9.1

Multipliez $\frac{225}{4}$ par $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{225 (5 i)}{4 \cdot 2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.9.2

Multipliez $5$ par $225$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.9.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.10

Multipliez $3 \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.1.10.1

Associez $3$ et $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{3 (5 \sqrt{3})}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.10.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(5 i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $5 i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.12

Associez.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.13.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 3.1.13.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.14.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} \cdot 25 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} \cdot 25 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.14.3.1

Multipliez $25$ par $15$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{375 \sqrt{3} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.14.3.2

Multipliez $- 1$ par $375$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{- 375 \sqrt{3}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.15

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{- 375 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Étape 3.1.17

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.17.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{{(5 i)}^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.17.2

Appliquez la règle de produit à $5 i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{5^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.18.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 i^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.1.18.2

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Étape 3.1.18.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Étape 3.1.18.4

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Étape 3.1.18.5

Associez les exposants.

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Étape 3.1.18.5.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- (125 i)}{2^{3}}$

Étape 3.1.18.5.2

Multipliez $125$ par $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 125 i}{2^{3}}$

Étape 3.1.19

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 125 i}{8}$

Étape 3.1.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} - \frac{125 i}{8}$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{375 \sqrt{3} + 1125 i - 375 \sqrt{3} - 125 i}{8}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $375 \sqrt{3}$ de $375 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 1125 i - 125 i}{8}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $1125 i$ .

$\frac{1125 i - 125 i}{8}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $125 i$ de $1125 i$ .

$\frac{1000 i}{8}$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun à $1000$ et $8$ .

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Étape 3.2.5.1

Factorisez $8$ à partir de $1000 i$ .

$\frac{8 (125 i)}{8}$

Étape 3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.5.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{8 (125 i)}{8 (1)}$

Étape 3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (125 i)}{8 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{125 i}{1}$

Étape 3.2.5.2.4

Divisez $125 i$ par $1$ .

$125 i$