Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{1}{(- x) + 1}$

Étape 3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = \frac{1}{- (x) + 1}$

Étape 3.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{1}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{1}{- (x - 1)}$

Étape 3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{1}{- 1 (x - 1)}$

Étape 3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- x) = - \frac{1}{x - 1}$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $- \frac{1}{x - 1}$ $\neq$ $\frac{1}{x + 1}$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$- f (x) = - \frac{1}{x + 1}$

Étape 5.2

Comme $- \frac{1}{x - 1}$ $\neq$ $- \frac{1}{x + 1}$ , la fonction n’est pas impaire.

La fonction n’est pas impaire

Étape 6

La fonction n’est ni paire ni impaire

Étape 7

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 8

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 9

Comme la fonction n’est ni impaire ni paire, il n’y a pas de symétrique par rapport à l’origine ni par rapport à l’ordonnée.

La fonction n’est pas symétrique

Étape 10