Algèbre Exemples

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{- 4 k - 12}{k^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez les deux côtés.

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Étape 1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 k - 12$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 k$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k) - 12}{k^{2} - 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k) + 4 (- 3)}{k^{2} - 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- k) + 4 (- 3)$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k - 3)}{k^{2} - 9}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k - 3)}{k^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 3$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k - 3)}{(k + 3) (k - 3)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $- k - 3$ et $k + 3$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- k$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- (k) - 3)}{(k + 3) (k - 3)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- (k) - 1 (3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Étape 1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (k) - 1 (3)$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- (k + 3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Étape 1.3.4

Réécrivez $- (k + 3)$ comme $- 1 (k + 3)$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- 1 (k + 3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- 1 (k + 3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Étape 1.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 \cdot (- 1)}{k - 3}$

Étape 1.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{- 4}{k - 3}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{k - 15}{k + 1} = - \frac{4}{k - 3}$

Étape 2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(k - 15) (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $k$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $(k - 15) (k - 3)$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (k - 15) (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(k - 15) (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.3

Développez $(k - 15) (k - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (k - 3) - 15 (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot - 3 - 15 (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot - 3 - 15 k - 15 \cdot - 3 = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 3 - 15 k - 15 \cdot - 3 = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.4.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $k$ .

$k^{2} - 3 \cdot k - 15 k - 15 \cdot - 3 = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.4.1.3

Multipliez $- 15$ par $- 3$ .

$k^{2} - 3 k - 15 k + 45 = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.1.4.2

Soustrayez $15 k$ de $- 3 k$ .

$k^{2} - 18 k + 45 = (k + 1) \cdot - 4$

Étape 3.2

Simplifiez $(k + 1) \cdot - 4$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$k^{2} - 18 k + 45 = k \cdot - 4 + 1 \cdot - 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez $- 4$ à gauche de $k$ .

$k^{2} - 18 k + 45 = - 4 \cdot k + 1 \cdot - 4$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$k^{2} - 18 k + 45 = - 4 k - 4$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant $k$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $4 k$ aux deux côtés de l’équation.

$k^{2} - 18 k + 45 + 4 k = - 4$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 18 k$ et $4 k$ .

$k^{2} - 14 k + 45 = - 4$

Étape 3.4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$k^{2} - 14 k + 45 + 4 = 0$

Étape 3.5

Additionnez $45$ et $4$ .

$k^{2} - 14 k + 49 = 0$

Étape 3.6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.6.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$k^{2} - 14 k + 7^{2} = 0$

Étape 3.6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 k = 2 \cdot k \cdot 7$

Étape 3.6.3

Réécrivez le polynôme.

$k^{2} - 2 \cdot k \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Étape 3.6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = k$ et $b = 7$ .

${(k - 7)}^{2} = 0$

Étape 3.7

Définissez le $k - 7$ égal à $0$ .

$k - 7 = 0$

Étape 3.8

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$k = 7$