Algèbre Exemples

$4 \cdot 2^{- \frac{t}{5}} = 288$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 \cdot 2^{- \frac{t}{5}}) = \ln (288)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (4 \cdot 2^{- \frac{t}{5}})$ comme $\ln (4) + \ln (2^{- \frac{t}{5}})$ .

$\ln (4) + \ln (2^{- \frac{t}{5}}) = \ln (288)$

Étape 2.2

Développez $\ln (2^{- \frac{t}{5}})$ en déplaçant $- \frac{t}{5}$ hors du logarithme.

$\ln (4) - \frac{t}{5} \ln (2) = \ln (288)$

Étape 2.3

Associez $\ln (2)$ et $\frac{t}{5}$ .

$\ln (4) - \frac{\ln (2) t}{5} = \ln (288)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (4) - \frac{\ln (2) t}{5}$ .

$\ln (4) - \frac{t \ln (2)}{5} = \ln (288)$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $\ln (4)$ et $- \frac{t \ln (2)}{5}$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (4) = \ln (288)$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (4) - \ln (288) = 0$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4}{288}) = 0$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $4$ et $288$ .

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Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4 (1)}{288}) = 0$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $288$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 72}) = 0$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 72}) = 0$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{1}{72}) = 0$

Étape 8

Soustrayez $\ln (\frac{1}{72})$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{t \ln (2)}{5} = - \ln (\frac{1}{72})$

Étape 9

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 5$ .

$- 5 (- \frac{t \ln (2)}{5}) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Étape 10

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.1.1

Simplifiez $- 5 (- \frac{t \ln (2)}{5})$ .

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Étape 10.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{t \ln (2)}{5}$ dans le numérateur.

$- 5 \frac{- t \ln (2)}{5} = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Étape 10.1.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- t \ln (2)}{5} = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Étape 10.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot - 1 \frac{- t \ln (2)}{5} = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Étape 10.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- (- t \ln (2)) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Étape 10.1.1.2

Multipliez.

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Étape 10.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (t \ln (2)) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Étape 10.1.1.2.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$t \ln (2) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$t \ln (2) = 5 \ln (\frac{1}{72})$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $t \ln (2) = 5 \ln (\frac{1}{72})$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $t \ln (2) = 5 \ln (\frac{1}{72})$ par $\ln (2)$ .

$\frac{t \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Forme décimale :

$t = - 30.84962500 \dots$