Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Étape 1

Indiquez chaque équation de plane en forme normalisée.

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Étape 1.1

Simplifiez

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Étape 1.1.1

Pour écrire $\frac{x + 3}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.2

Pour écrire $\frac{y - 1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{x + 3}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $\frac{y - 1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.5.5

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.5.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.1.5.7

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Étape 1.2

Divisez la fraction $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ en deux fractions.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.3

Divisez la fraction $\frac{3 x + 4 y}{12}$ en deux fractions.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Étape 1.6

Soustrayez $\frac{5}{12}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Étape 1.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Étape 1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Étape 1.7.3

Soustrayez $5$ de $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Étape 2

Pour déterminer l’intersection de la droite passant par un point $(p, q, r)$ perpendiculaire au plan $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ et au plan $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Déterminez les vecteurs normaux du plan $P_{1}$ et du plan $P_{2}$ lorsque les vecteurs normaux sont $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ et $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Vérifiez si le produit scalaire est 0.

2. Créez un ensemble d’équations paramétriques de sorte que $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ .

3. Remplacez ces équations par l’équation pour le plan $P_{2}$ de sorte que $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ et résolvez pour $t$ .

4. Utilisez la valeur de $t$ pour résoudre les équations paramétriques $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ pour $t$ afin de déterminer l’intersection $(x, y, z)$ .

Étape 3

Déterminez les vecteurs normaux pour chaque plan et déterminez s’ils sont perpendiculaires en calculant le produit scalaire.

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Étape 3.1

$P_{1}$ est $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Déterminez le vecteur normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Étape 3.2

$P_{2}$ est $2 x - y = 12$ . Déterminez le vecteur normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Étape 3.3

Calculez le produit scalaire de $n_{1}$ et $n_{2}$ en additionnant les produits des valeurs $x$ , $y$ et $z$ correspondantes dans les vecteurs normaux.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4

Simplifiez le produit scalaire.

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Étape 3.4.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Étape 3.4.3

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Étape 3.4.4

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Étape 3.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Étape 3.4.5.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Étape 3.4.5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Étape 3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Étape 3.4.7

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Étape 3.4.8

Additionnez $\frac{1}{6}$ et $0$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 4

Ensuite, créez un ensemble d’équations paramétriques $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ en utilisant l’origine $(0, 0, 0)$ pour le point $(p, q, r)$ et les valeurs du vecteur normal $\frac{1}{6}$ pour les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ . Cet ensemble d’équations paramétriques représente la droite passant par l’origine qui est perpendiculaire à $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Étape 5

Remplacez l’expression pour $x$ , $y$ et $z$ dans l’équation pour $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Étape 6.1.1

Associez les termes opposés dans $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Étape 6.1.1.1

Additionnez $0$ et $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Étape 6.1.1.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Étape 6.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Étape 6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Étape 6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Étape 6.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Étape 6.1.3

Pour écrire $\frac{t}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Étape 6.1.4

Pour écrire $- \frac{t}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Étape 6.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $\frac{t}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Étape 6.1.5.3

Multipliez $\frac{t}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Étape 6.1.5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Étape 6.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Étape 6.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

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Étape 6.1.7.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Étape 6.1.7.1.2

Factorisez $t$ à partir de $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Étape 6.1.7.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Étape 6.1.7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Étape 6.1.7.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Étape 6.1.8

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$t = 6 \cdot 12$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $6$ par $12$ .

$t = 72$

Étape 7

Résolvez les équations paramétriques pour $x$ , $y$ et $z$ en utilisant la valeur de $t$ .

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Étape 7.1

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Étape 7.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Étape 7.1.3

Simplifiez $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

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Étape 7.1.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Étape 7.1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Étape 7.1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 0 + 18$

Étape 7.1.3.2

Additionnez $0$ et $18$ .

$x = 18$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Étape 7.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Étape 7.2.3

Simplifiez $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Étape 7.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Étape 7.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = 0 + 24$

Étape 7.2.3.2

Additionnez $0$ et $24$ .

$y = 24$

Étape 7.3

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 7.3.1

Supprimez les parenthèses.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Étape 7.3.2

Simplifiez $0 + 0 \cdot (72)$ .

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $0$ par $72$ .

$z = 0 + 0$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$z = 0$

Étape 7.4

Les équations paramétriques résolues pour $x$ , $y$ et $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Étape 8

En utilisant les valeurs calculées pour $x$ , $y$ et $z$ , le point d’intersection est $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$