Algèbre Exemples

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 8$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = x^{5} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 5 x^{2} - 6 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 5 x)$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x - 6) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 3

Factorisez $x^{4} - 5 x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 3.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$f (x) = {(- 1)}^{4} - 5 \cdot - 1 - 6$

Étape 3.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (x) = 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f (x) = 1 + 5 - 6$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$f (x) = 6 - 6$

Étape 3.3.5

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f (x) = 0$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x - 6}{x + 1}$

Étape 3.5

Divisez $x^{4} - 5 x - 6$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$f (x) =$

Étape 3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + x^{3}$

$f (x) =$

Étape 3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Étape 3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

$f (x) =$

Étape 3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x - 6$

$f (x) =$

Étape 3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$f (x) = x^{3} - x^{2} + x - 6$

Étape 3.6

Écrivez $x^{4} - 5 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = x ((x + 1) (x^{3} - x^{2} + x - 6)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $x^{3} - x^{2} + x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $x^{3} - x^{2} + x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 4.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 4.1.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} + 2 - 6$

Étape 4.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} + 2 - 6$

Étape 4.1.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 + 2 - 6$

Étape 4.1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (x) = 8 - 4 + 2 - 6$

Étape 4.1.1.3.5

Soustrayez $4$ de $8$ .

$f (x) = 4 + 2 - 6$

Étape 4.1.1.3.6

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (x) = 6 - 6$

Étape 4.1.1.3.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f (x) = 0$

Étape 4.1.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 6}{x - 2}$

Étape 4.1.1.5

Divisez $x^{3} - x^{2} + x - 6$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - 2 x$

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x - 6$

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 4.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$f (x) = x^{2} + x + 3$

Étape 4.1.1.6

Écrivez $x^{3} - x^{2} + x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = x ((x + 1) ((x - 2) (x^{2} + x + 3))) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 4.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = x ((x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Étape 5

Factorisez $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Étape 5.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$f (x) = - 3 {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Étape 5.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (x) = - 3 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (x) = - 3 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Étape 5.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (x) = - 3 + 5 \cdot - 1 + 8$

Étape 5.3.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (x) = - 3 - 5 + 8$

Étape 5.3.6

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Étape 5.3.7

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (x) = 0$

Étape 5.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$f (x) = \frac{- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8}{x + 1}$

Étape 5.5

Divisez $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$f (x) =$

Étape 5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) =$

Étape 5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{3} + 8 x^{2}$

$f (x) =$

Étape 5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} - 8 x$

$f (x) =$

Étape 5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 5.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 5.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 5.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 5.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x + 8$

$f (x) =$

Étape 5.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 5.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$f (x) = - 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$

Étape 5.6

Écrivez $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8)$

Étape 6

Factorisez $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Étape 6.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$f (x) = - 3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Étape 6.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (x) = - 3 \cdot 8 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Étape 6.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 8$

Étape 6.1.3.5

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (x) = - 24 + 32 - 8 \cdot 2 + 8$

Étape 6.1.3.6

Additionnez $- 24$ et $32$ .

$f (x) = 8 - 8 \cdot 2 + 8$

Étape 6.1.3.7

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f (x) = 8 - 16 + 8$

Étape 6.1.3.8

Soustrayez $16$ de $8$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Étape 6.1.3.9

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (x) = 0$

Étape 6.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$f (x) = \frac{- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8}{x - 2}$

Étape 6.1.5

Divisez $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$f (x) =$

Étape 6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{3} + 6 x^{2}$

$f (x) =$

Étape 6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 4 x$

$f (x) =$

Étape 6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x + 8$

$f (x) =$

Étape 6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$f (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 4$

Étape 6.1.6

Écrivez $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) ((x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4))$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 7

Factorisez $(x + 1) (x - 2)$ à partir de $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $(x + 1) (x - 2)$ à partir de $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 7.2

Factorisez $(x + 1) (x - 2)$ à partir de $(x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 9.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 9.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 9.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 \cdot x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Étape 10

Soustrayez $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2 x - 4)$

Étape 11

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4)$

Étape 12

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Factorisez $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 12.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$f (x) = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 12.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$f (x) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Étape 12.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Étape 12.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Étape 12.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (x) = 1 - 2 + 5 \cdot 1 - 4$

Étape 12.1.3.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Étape 12.1.3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 - 4$

Étape 12.1.3.7

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$f (x) = 4 - 4$

Étape 12.1.3.8

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (x) = 0$

Étape 12.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4}{x - 1}$

Étape 12.1.5

Divisez $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ par $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Étape 12.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + x$

$f (x) =$

Étape 12.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$f (x) =$

Étape 12.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 4$

$f (x) =$

Étape 12.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$f (x) =$

Étape 12.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$f (x) = x^{2} - x + 4$

Étape 12.1.6

Écrivez $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} - x + 4))$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 1) (x^{2} - x + 4)$