Algèbre Exemples

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 12 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$5 u^{2} - 12 u = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $5 u^{2} - 12 u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Factorisez $u$ à partir de $5 u^{2}$ .

$u (5 u) - 12 u = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $u$ à partir de $- 12 u$ .

$u (5 u) + u \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u (5 u) + u \cdot - 12$ .

$u (5 u - 12) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $5 x^{2} - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $5 x^{2} - 12$ égal à $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $5 x^{2} - 12 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} = 12$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 12$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 12$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Étape 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{12}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.2.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Étape 2.5.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Étape 2.5.2.4.5.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.5491934$ dans l’expression.

$f' (- 2.5491934) = 5 {(- 2.5491934)}^{4} - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.5491934$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $5$ par $42.22903347$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2.5491934$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $6.49838699$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Étape 5.2.2

Soustrayez $77.98064388$ de $211.14516739$ .

$f' (- 2.5491934) = 133.16452351$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $133.16452351$ .

$133.16452351$

Étape 5.3

Sur $x = - 2.5491934$ la dérivée est $133.16452351$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.5491934, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.7745967$ dans l’expression.

$f' (- 0.7745967) = 5 {(- 0.7745967)}^{4} - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.7745967$ à la puissance $4$ .

$f' (- 0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $5$ par $0.36000005$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 0.7745967$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $0.60000004$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Étape 6.2.2

Soustrayez $7.20000057$ de $1.80000028$ .

$f' (- 0.7745967) = - 5.40000028$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Étape 6.3

Sur $x = - 0.7745967$ la dérivée est $- 5.40000028$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1.5491934, 0)$ .

Diminue sur $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.7745967$ dans l’expression.

$f' (0.7745967) = 5 {(0.7745967)}^{4} - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $0.7745967$ à la puissance $4$ .

$f' (0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $5$ par $0.36000005$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $0.7745967$ à la puissance $2$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $0.60000004$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Étape 7.2.2

Soustrayez $7.20000057$ de $1.80000028$ .

$f' (0.7745967) = - 5.40000028$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Étape 7.3

Sur $x = 0.7745967$ la dérivée est $- 5.40000028$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Diminue sur $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.5491934$ dans l’expression.

$f' (2.5491934) = 5 {(2.5491934)}^{4} - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $2.5491934$ à la puissance $4$ .

$f' (2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $5$ par $42.22903347$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2.5491934$ à la puissance $2$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $6.49838699$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Étape 8.2.2

Soustrayez $77.98064388$ de $211.14516739$ .

$f' (2.5491934) = 133.16452351$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $133.16452351$ .

$133.16452351$

Étape 8.3

Sur $x = 2.5491934$ la dérivée est $133.16452351$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Étape 10