Algèbre Exemples

$x e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $x e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Étape 3.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ .

$- x + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $- x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x} (- x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1$ .

$1$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x e^{- x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 0 \cdot e^{- (0)} + e^{- (0)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{- (0)}$

Étape 6.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- (0)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{- (0)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Étape 6.2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- (2)} + e^{- (2)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- 2} + e^{- (2)}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Étape 7.2.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Étape 7.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Étape 7.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Étape 7.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $- \frac{1}{e^{2}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(1, \infty)$ .

Diminue sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 1)$

Diminue sur : $(1, \infty)$

Étape 9