Algèbre Exemples

$\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ , $1$ , $\frac{4}{3}$ , $\frac{5}{3}$

Étape 1

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence. Pour l’évaluer, vous devez déterminer les valeurs du premier et du $n$ ième termes.

$S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n})$

Étape 2

C’est une séquence arithmétique car il y a une différence commune entre chaque terme. Dans ce cas, l’ajout de $\frac{1}{3}$ au terme précédent dans la séquence produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Séquence arithmétique : $d = \frac{1}{3}$

Étape 3

C’est la formule d’une séquence arithmétique.

$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

Étape 4

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{3}$ et $d = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (n - 1)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} n + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $n$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{n}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{n}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{n}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 6

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{3} + \frac{n}{3} - \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a_{n} = \frac{n}{3} + \frac{1 - 1}{3}$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{n}{3} + \frac{0}{3}$

Étape 6.3

Divisez $0$ par $3$ .

$a_{n} = \frac{n}{3} + 0$

Étape 6.4

Additionnez $\frac{n}{3}$ et $0$ .

$a_{n} = \frac{n}{3}$

Étape 7

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = \frac{5}{3}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{5}{3})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1 + 5}{3}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $5$ .

$S_{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{3}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$S_{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 (3)}{3}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 5 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{5 \cdot 3}{3}$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$S_{5} = \frac{15}{3}$

Étape 13.2

Divisez $15$ par $3$ .

$S_{5} = 5$