Algèbre Exemples

$\ln^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) (\frac{1}{x})$

Étape 1.3

Associez les fractions.

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{x} \cdot \ln (x)$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Étape 1.4

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f' (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x^{2})$ et $g (x) = x$ .

$f'' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.4.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.4.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$