Algèbre Exemples

$f (x) = 6 x - x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 - (3 x^{2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 - 3 x^{2}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} + 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 6 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 6 - \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 6 - (3 x^{2})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 6 - 3 x^{2}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 6$ .

$- 3 x^{2} + 6$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 6 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 6$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 6$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 6$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 6$ par $- 3$ .

$x^{2} = 2$

Étape 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \sqrt{2}$

Étape 9

$x = \sqrt{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{2}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = 6 (\sqrt{2}) - {(\sqrt{2})}^{3}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{3}}$

Étape 10.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} - \sqrt{8}$

Étape 10.2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}$

Étape 10.2.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 10.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2})$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $6 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $4 \sqrt{2}$ .

$y = 4 \sqrt{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 (- \sqrt{2})$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 \sqrt{2}$

Étape 13

$x = - \sqrt{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = 6 (- \sqrt{2}) - {(- \sqrt{2})}^{3}$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} - {(- \sqrt{2})}^{3}$

Étape 14.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} - ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

Étape 14.2.1.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.1.3.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{3})$

Étape 14.2.1.3.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 14.2.1.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{3})$

Étape 14.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3 + 1} {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 14.2.1.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 14.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + 1 {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 14.2.1.5

Multipliez ${\sqrt{2}}^{3}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 14.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{3}}$

Étape 14.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + \sqrt{8}$

Étape 14.2.1.8

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 14.2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + \sqrt{4 (2)}$

Étape 14.2.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 14.2.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{2}) = - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 6 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

Étape 14.2.3

La réponse finale est $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}$

Étape 15

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 x - x^{3}$ .

$(\sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$ est un maximum local

$(- \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2})$ est un minimum local

Étape 16