Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 2 x & - y \\ - 4 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 6 \\ - 2 & 5 \end{array}] = [\begin{array}{c} 6 & - 134 \\ - 10 & - 9 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 2 x & - y \\ - 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 6 \\ - 2 & 5 \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 2 x \cdot 1 - y \cdot - 2 & 2 x \cdot 6 - y \cdot 5 \\ - 4 \cdot 1 + 3 \cdot - 2 & - 4 \cdot 6 + 3 \cdot 5 \end{array}] = [\begin{array}{c} 6 & - 134 \\ - 10 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 2 x + 2 y & 12 x - 5 y \\ - 10 & - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 6 & - 134 \\ - 10 & - 9 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la règle de fonction.

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Étape 2.1

Vérifiez si la règle de fonction est linéaire.

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Étape 2.1.1

Pour déterminer si la table suit une règle de fonction, vérifiez si les valeurs suivent la forme linéaire $y = a x + b$ .

$y = a x + b$

Étape 2.1.2

Formez un ensemble d’équations depuis le tableau de sorte que $y = a x + b$ .

$- 10 = a (- 10) + b - 9 = a (- 9) + b$

Étape 2.1.3

Calculez les valeurs de $a$ et $b$ .

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Étape 2.1.3.1

Résolvez $b$ dans $- 10 = a (- 10) + b$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $a (- 10) + b = - 10$ .

$a (- 10) + b = - 10$

$- 9 = a (- 9) + b$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $a$ .

$- 10 a + b = - 10$

$- 9 = a (- 9) + b$

Étape 2.1.3.1.3

Ajoutez $10 a$ aux deux côtés de l’équation.

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a (- 9) + b$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a (- 9) + b$

Étape 2.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $b$ par $- 10 + 10 a$ dans chaque équation.

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Étape 2.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $b$ dans $- 9 = a (- 9) + b$ par $- 10 + 10 a$ .

$- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

Étape 2.1.3.2.2

Simplifiez $- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$ .

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Étape 2.1.3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.3.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

Étape 2.1.3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.2.2.2.1

Simplifiez $a (- 9) - 10 + 10 a$ .

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Étape 2.1.3.2.2.2.1.1

Déplacez $- 9$ à gauche de $a$ .

$- 9 = - 9 a - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

Étape 2.1.3.2.2.2.1.2

Additionnez $- 9 a$ et $10 a$ .

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

Étape 2.1.3.3

Résolvez $a$ dans $- 9 = a - 10$ .

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Étape 2.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $a - 10 = - 9$ .

$a - 10 = - 9$

$b = - 10 + 10 a$

Étape 2.1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1.3.3.2.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$a = - 9 + 10$

$b = - 10 + 10 a$

Étape 2.1.3.3.2.2

Additionnez $- 9$ et $10$ .

$a = 1$

$b = - 10 + 10 a$

$a = 1$

$b = - 10 + 10 a$

$a = 1$

$b = - 10 + 10 a$

Étape 2.1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $a$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 2.1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $a$ dans $b = - 10 + 10 a$ par $1$ .

$b = - 10 + 10 (1)$

$a = 1$

Étape 2.1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.4.2.1

Simplifiez $- 10 + 10 (1)$ .

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Étape 2.1.3.4.2.1.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$b = - 10 + 10$

$a = 1$

Étape 2.1.3.4.2.1.2

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

Étape 2.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$b = 0, a = 1$

Étape 2.1.4

Calculez la valeur de $y$ en utilisant chaque valeur $x$ dans la relation et comparez cette valeur à la valeur $y$ indiquée dans la relation.

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Étape 2.1.4.1

Calculez la valeur de $y$ quand $a = 1$ , $b = 0$ et $x = - 10$ .

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Étape 2.1.4.1.1

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$y = - 10 + 0$

Étape 2.1.4.1.2

Additionnez $- 10$ et $0$ .

$y = - 10$

Étape 2.1.4.2

Si la table a une règle de fonction linéaire, $y = y$ pour la valeur $x$ correspondante, $x = - 10$ . Ce contrôle est réussi car $y = - 10$ et $y = - 10$ .

$- 10 = - 10$

Étape 2.1.4.3

Calculez la valeur de $y$ quand $a = 1$ , $b = 0$ et $x = - 9$ .

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Étape 2.1.4.3.1

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$y = - 9 + 0$

Étape 2.1.4.3.2

Additionnez $- 9$ et $0$ .

$y = - 9$

Étape 2.1.4.4

Si la table a une règle de fonction linéaire, $y = y$ pour la valeur $x$ correspondante, $x = - 9$ . Ce contrôle est réussi car $y = - 9$ et $y = - 9$ .

$- 9 = - 9$

Étape 2.1.4.5

Comme $y = y$ pour les valeurs $x$ correspondantes, la fonction est linéaire.

La fonction est linéaire

Étape 2.2

Comme tout $y = y$ , la fonction est linéaire et suit la forme $y = x$ .

$y = x$

Étape 3

Déterminez $2 x + 2 y$ .

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Étape 3.1

Utilisez l’équation de la règle de la fonction pour déterminer $2 x + 2 y$ .

$6 = 2 x + 2 y$

Étape 3.2

Réécrivez l’équation comme $2 x + 2 y = 6$ .

$2 x + 2 y = 6$

Étape 3.3

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = 6 - 2 y$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 6 - 2 y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 6 - 2 y$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3 + \frac{- 2 y}{2}$

Étape 3.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$x = 3 + \frac{2 (- y)}{2}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = 3 + \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

Étape 3.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = 3 + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 3 + \frac{- y}{1}$

Étape 3.4.3.1.2.2.4

Divisez $- y$ par $1$ .

$x = 3 - y$

Étape 4

Déterminez $12 x - 5 y$ .

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Étape 4.1

Utilisez l’équation de la règle de la fonction pour déterminer $12 x - 5 y$ .

$- 134 = 12 x - 5 y$

Étape 4.2

Réécrivez l’équation comme $12 x - 5 y = - 134$ .

$12 x - 5 y = - 134$

Étape 4.3

Ajoutez $5 y$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x = - 134 + 5 y$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $12 x = - 134 + 5 y$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $12 x = - 134 + 5 y$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 134}{12} + \frac{5 y}{12}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 134}{12} + \frac{5 y}{12}$

Étape 4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 134}{12} + \frac{5 y}{12}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 134$ et $12$ .

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Étape 4.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 134$ .

$x = \frac{2 (- 67)}{12} + \frac{5 y}{12}$

Étape 4.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \cdot - 67}{2 \cdot 6} + \frac{5 y}{12}$

Étape 4.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 67}{2 \cdot 6} + \frac{5 y}{12}$

Étape 4.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 67}{6} + \frac{5 y}{12}$

Étape 4.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{67}{6} + \frac{5 y}{12}$

Étape 5

Indiquez toutes les solutions.

$x = 3 - y x = - \frac{67}{6} + \frac{5 y}{12}$