Algèbre Exemples

$\frac{1}{8} x^{3}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{8} y^{3}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{8} y^{3} = x$ .

$\frac{1}{8} y^{3} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 (\frac{1}{8} y^{3}) = 8 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $8 (\frac{1}{8} y^{3})$ .

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Étape 2.3.1.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $y^{3}$ .

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 x$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 x$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 8 x$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{8 x}$

Étape 2.5

Simplifiez $\sqrt[3]{8 x}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{2^{3} x}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = 2 \sqrt[3]{x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{8} x^{3}}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{8} x^{3}}$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{1}{8}$ et $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Étape 4.2.5

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Étape 4.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (2 \sqrt[3]{x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot {(2 \sqrt[3]{x})}^{3}$

Étape 4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{x}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Étape 4.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $8$ à partir de $8 {\sqrt[3]{x}}^{3}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Étape 4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Étape 4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x$

Étape 4.3.5.5

Simplifiez

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$