Algèbre Exemples

$y = 3 x e^{- k x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (3 x e^{- k x})$

Étape 2

Comme $y$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $y$ par rapport à $k$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $3 x e^{- k x}$ par rapport à $k$ est $3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ est $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ où $f (k) = x$ et $g (k) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d k} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = e^{k}$ et $g (k) = - k x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $- k x$ par rapport à $k$ est $- \frac{d}{d k} [k x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- \frac{d}{d k} [k x])) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ est $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ où $f (k) = k$ et $g (k) = x$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k \frac{d}{d k} [x] + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{d}{d k} [x]$ comme $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \cdot 1))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d k} [x]$ comme $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} x')$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x') - x)) + e^{- k x} x')$

Étape 3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')) + e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Étape 3.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x'))) + x (e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Étape 3.10.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5

Associez des termes.

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Étape 3.10.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (x (e^{- k x} (k x'))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x^{1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1 + 1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5.7

Réécrivez $- 1 e^{- k x}$ comme $- e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Étape 3.10.5.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 e^{- k x} x'$

Étape 3.10.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = - 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$ .

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x x' e^{- k x} - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $3 x^{2} e^{- k x}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Étape 5.4

Factorisez $3 x' e^{- k x}$ à partir de $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3 x' e^{- k x}$ à partir de $- 3 k x x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Étape 5.4.2

Factorisez $3 x' e^{- k x}$ à partir de $3 x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 3 x^{2} e^{- k x}$

Étape 5.4.3

Factorisez $3 x' e^{- k x}$ à partir de $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ par $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ par $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{- k x}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $- k x + 1$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{- k x}$ .

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Étape 5.5.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Étape 5.5.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x^{2}}{- k x + 1}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- k x$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) + 1}$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) - 1 (- 1)}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (k x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x - 1)}$

Étape 5.5.3.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.6.1

Réécrivez $- (k x - 1)$ comme $- 1 (k x - 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- 1 (k x - 1)}$

Étape 5.5.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d k}$ .

$\frac{d x}{d k} = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$