Algèbre Exemples

$r = m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d r} (r) = \frac{d}{d r} (m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ est $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ où $f (r) = m^{2}$ et $g (r) = \frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [\frac{c}{2} - \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} (\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{c}{2}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{c}{2}$ par rapport à $r$ est $0$ .

$m^{2} (0 + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.2.4

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- \frac{m}{3}$ par rapport à $r$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]$ .

$m^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.2.5

Associez $m^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{m^{2}}{3} \frac{d}{d r} [m] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d r} [m]$ comme $m'$ .

$- \frac{m^{2}}{3} m' + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.4

Associez $m'$ et $\frac{m^{2}}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ est $f' (g (r)) g' (r)$ où $f (r) = r^{2}$ et $g (r) = m$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [m])$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 u \frac{d}{d r} [m])$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 m \frac{d}{d r} [m])$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m \frac{d}{d r} [m]$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{d}{d r} [m]$ comme $m'$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$

Étape 3.8

Réorganisez les facteurs de $2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Étape 3.9

Pour écrire $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.10

Associez $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + \frac{2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Étape 3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- m' m^{2} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Étape 3.12

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})}{3}$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Étape 3.13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.13.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 m m'$ .

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Étape 3.13.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Étape 3.13.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Étape 3.13.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.13.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{m}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' \frac{- m}{3}}{3}$

Étape 3.13.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6 m m'$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Étape 3.13.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Étape 3.13.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 2 m m' (- m)}{3}$

Étape 3.13.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m m' m}{3}$

Étape 3.13.2.1.4

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m) m'}{3}$

Étape 3.13.2.1.5

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m^{1}) m'}{3}$

Étape 3.13.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{1 + 1} m'}{3}$

Étape 3.13.2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{2} m'}{3}$

Étape 3.13.2.2

Soustrayez $2 m^{2} m'$ de $- m' m^{2}$ .

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Étape 3.13.2.2.1

Déplacez $m'$ .

$\frac{- m^{2} m' - 2 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Étape 3.13.2.2.2

Soustrayez $2 m^{2} m'$ de $- m^{2} m'$ .

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Étape 3.13.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 m^{2} m' + 3 m m' c$ .

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m c m'}{3}$

Étape 3.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 c m m'}{3}$

Étape 3.13.4

Factorisez $3 m m'$ à partir de $- 3 m^{2} m' + 3 c m m'$ .

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Étape 3.13.4.1

Factorisez $3 m m'$ à partir de $- 3 m^{2} m'$ .

$\frac{3 m m' (- m) + 3 c m m'}{3}$

Étape 3.13.4.2

Factorisez $3 m m'$ à partir de $3 c m m'$ .

$\frac{3 m m' (- m) + 3 m m' (c)}{3}$

Étape 3.13.4.3

Factorisez $3 m m'$ à partir de $3 m m' (- m) + 3 m m' (c)$ .

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Étape 3.13.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.13.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Étape 3.13.5.2

Divisez $m m' (- m + c)$ par $1$ .

$m m' (- m + c)$

Étape 3.13.6

Appliquez la propriété distributive.

$m m' (- m) + m m' c$

Étape 3.13.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- m m' m + m m' c$

Étape 3.13.8

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.8.1

Déplacez $m$ .

$- (m \cdot m) m' + m m' c$

Étape 3.13.8.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$- m^{2} m' + m m' c$

Étape 3.13.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- m^{2} m' + m m' c$ .

$- m^{2} m' + m c m'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - m^{2} m' + m c m'$

Étape 5

Résolvez $m'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- m^{2} m' + m c m' = 1$ .

$- m^{2} m' + m c m' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $m m'$ à partir de $- m^{2} m' + m c m'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $m m'$ à partir de $- m^{2} m'$ .

$m m' (- m) + m c m' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $m m'$ à partir de $m c m'$ .

$m m' (- m) + m m' c = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $m m'$ à partir de $m m' (- m) + m m' c$ .

$m m' (- m + c) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $m m' (- m + c) = 1$ par $m (- m + c)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $m m' (- m + c) = 1$ par $m (- m + c)$ .

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $m$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- m + c$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $m'$ par $1$ .

$m' = \frac{1}{m (- m + c)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- m$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m) + c)}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $c$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m) - 1 (- c))}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (m) - 1 (- c)$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m - c))}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.3.4.1

Réécrivez $- (m - c)$ comme $- 1 (m - c)$ .

$m' = \frac{1}{m (- 1 (m - c))}$

Étape 5.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$m' = - \frac{1}{m (m - c)}$

Étape 6

Remplacez $m'$ par $\frac{d m}{d r}$ .

$\frac{d m}{d r} = - \frac{1}{m (m - c)}$