Algèbre Exemples

$y = 5 x e^{- k x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (5 x e^{- k x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $k$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5 x$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $5 x e^{- k x}$ par rapport à $k$ est $5 x \frac{d}{d k} [e^{- k x}]$ .

$5 x \frac{d}{d k} [e^{- k x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = e^{k}$ et $g (k) = - k x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- k x$ .

$5 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- k x$ .

$5 x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $- k x$ par rapport à $k$ est $- x \frac{d}{d k} [k]$ .

$5 x (e^{- k x} (- x \frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 x (e^{- k x} (x \frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{1} x) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{1} x^{1}) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x^{1 + 1} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 5 x^{2} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 x^{2} (e^{- k x} \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez $e^{- k x}$ par $1$ .

$- 5 x^{2} e^{- k x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 5 x^{2} e^{- k x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d k}$ .

$\frac{d y}{d k} = - 5 x^{2} e^{- k x}$