Algèbre Exemples

$3 x y - \frac{y}{3} = \frac{2}{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x y - \frac{y}{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y - \frac{y}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 (x y' + y) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (x y' + y) - \frac{1}{3} y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x y') + 3 y - \frac{1}{3} y'$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x y' - \frac{1}{3} y' + 3 y$

Étape 2.4.3

Associez $y'$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 x y' - \frac{y'}{3} + 3 y$

Étape 2.4.4

Pour écrire $3 x y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 x y' \cdot \frac{3}{3} - \frac{y'}{3} + 3 y$

Étape 2.4.5

Associez $3 x y'$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x y' \cdot 3}{3} - \frac{y'}{3} + 3 y$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x y' \cdot 3 - y'}{3} + 3 y$

Étape 2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 x y' \cdot 3 - y'$ .

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Étape 2.4.7.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 x y' \cdot 3$ .

$\frac{y' (3 x \cdot 3) - y'}{3} + 3 y$

Étape 2.4.7.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$\frac{y' (3 x \cdot 3) + y' \cdot - 1}{3} + 3 y$

Étape 2.4.7.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 x \cdot 3) + y' \cdot - 1$ .

$\frac{y' (3 x \cdot 3 - 1)}{3} + 3 y$

Étape 2.4.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y' (9 x - 1)}{3} + 3 y$

Étape 2.4.8

Pour écrire $3 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y' (9 x - 1)}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.4.9

Associez $3 y$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y' (9 x - 1)}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3}$

Étape 2.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y' (9 x - 1) + 3 y \cdot 3}{3}$

Étape 2.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y' (9 x) + y' \cdot - 1 + 3 y \cdot 3}{3}$

Étape 2.4.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 y' x + y' \cdot - 1 + 3 y \cdot 3}{3}$

Étape 2.4.11.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y'$ .

$\frac{9 y' x - 1 \cdot y' + 3 y \cdot 3}{3}$

Étape 2.4.11.4

Réécrivez $- 1 y'$ comme $- y'$ .

$\frac{9 y' x - y' + 3 y \cdot 3}{3}$

Étape 2.4.11.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 y' x - y' + 9 y}{3}$

Étape 2.4.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{9 y' x - y' + 9 y}{3}$ .

$\frac{9 x y' - y' + 9 y}{3}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{9 x y' - y' + 9 y}{3} = - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{9 x y' - y' + 9 y}{3} \cdot 3 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 3$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{9 x y' - y' + 9 y}{3} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x y' - y' + 9 y}{3} \cdot 3 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 3$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 x y' - y' + 9 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 3$

Étape 5.2.1.1.2

Déplacez $x$ .

$9 y' x - y' + 9 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 3$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 y' x - y' + 9 y = - 3 \frac{2}{x^{2}}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$9 y' x - y' + 9 y = \frac{- 3 \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 5.2.2.1.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$9 y' x - y' + 9 y = \frac{- 6}{x^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 y' x - y' + 9 y = - \frac{6}{x^{2}}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $9 y$ des deux côtés de l’équation.

$9 y' x - y' = - \frac{6}{x^{2}} - 9 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $9 y' x - y'$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $9 y' x$ .

$y' (9 x) - y' = - \frac{6}{x^{2}} - 9 y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (9 x) + y' \cdot - 1 = - \frac{6}{x^{2}} - 9 y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (9 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (9 x - 1) = - \frac{6}{x^{2}} - 9 y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (9 x - 1) = - \frac{6}{x^{2}} - 9 y$ par $9 x - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (9 x - 1) = - \frac{6}{x^{2}} - 9 y$ par $9 x - 1$ .

$\frac{y' (9 x - 1)}{9 x - 1} = \frac{- \frac{6}{x^{2}}}{9 x - 1} + \frac{- 9 y}{9 x - 1}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $9 x - 1$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (9 x - 1)}{9 x - 1} = \frac{- \frac{6}{x^{2}}}{9 x - 1} + \frac{- 9 y}{9 x - 1}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{6}{x^{2}}}{9 x - 1} + \frac{- 9 y}{9 x - 1}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9 x - 1} + \frac{- 9 y}{9 x - 1}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{9 x - 1}$ par $\frac{6}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{6}{(9 x - 1) x^{2}} + \frac{- 9 y}{9 x - 1}$

Étape 5.3.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6}{(9 x - 1) x^{2}} - \frac{9 y}{9 x - 1}$

Étape 5.3.3.3.2

Pour écrire $- \frac{9 y}{9 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{6}{(9 x - 1) x^{2}} - \frac{9 y}{9 x - 1} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.3

Multipliez $\frac{9 y}{9 x - 1}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{6}{(9 x - 1) x^{2}} - \frac{9 y x^{2}}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 6 - 9 y x^{2}}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.5

Factorisez $3$ à partir de $- 6 - 9 y x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$y' = \frac{3 (- 2) - 9 y x^{2}}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 y x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 2) + 3 (- 3 y x^{2})}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 2) + 3 (- 3 y x^{2})$ .

$y' = \frac{3 (- 2 - 3 y x^{2})}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (2) - 3 y x^{2})}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (2) - (3 y x^{2}))}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (3 y x^{2})$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (2 + 3 y x^{2}))}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 (2 + 3 y x^{2})}{(9 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{3 (2 + 3 y x^{2})}{(9 x - 1) x^{2}}$ .

$y' = - \frac{3 (2 + 3 y x^{2})}{x^{2} (9 x - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 (2 + 3 y x^{2})}{x^{2} (9 x - 1)}$