Algèbre Exemples

$x^{3} e^{x}$

Étape 1

Écrivez $x^{3} e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ .

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 3.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 3$ .

$0, - 3$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = - 64 e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - 64 \frac{1}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.3

Associez $- 64$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 \cdot (16 e^{- 4})$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 e^{- 4}$

Étape 6.2.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 (\frac{1}{e^{4}})$

Étape 6.2.1.8

Associez $48$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + \frac{48}{e^{4}}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 4) = \frac{- 64 + 48}{e^{4}}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.2.1

Additionnez $- 64$ et $48$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{e^{4}}$

Étape 6.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 4) = - \frac{16}{e^{4}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{16}{e^{4}}$ .

$- \frac{16}{e^{4}}$

Étape 6.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $- \frac{16}{e^{4}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 3)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{27}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 8} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.7

Déplacez $8$ à gauche de $e^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 \cdot e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{4}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.13

Multipliez $3 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 7.2.1.13.1

Associez $3$ et $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.13.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.14

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2.1.15

Associez.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 1}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2.1.16

Multipliez $27$ par $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8 e^{\frac{3}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{4 e^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $27$ par $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2.5.2

Additionnez $- 27$ et $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{3}{2}$ la dérivée est $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 3, 0)$ .

Augmente sur $(- 3, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = {(1)}^{3} e^{1} + 3 {(1)}^{2} e^{1}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 1 e + 3 {(1)}^{2} e$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $e^{1}$ par $1$ .

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Étape 8.2.1.3

Simplifiez

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Étape 8.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = e + 3 \cdot (1 e)$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = e + 3 e$

Étape 8.2.1.6

Simplifiez

$f' (1) = e + 3 e$

Étape 8.2.2

Additionnez $e$ et $3 e$ .

$f' (1) = 4 e$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $4 e$ .

$4 e$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $4 e$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 3, 0), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 3)$

Étape 10