Algèbre Exemples

${(a + (- b + c))}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a)}^{3 - k} \cdot {(- b + c)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(a)}^{3 - 0} \cdot {(- b + c)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(a)}^{3 - 1} \cdot {(- b + c)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(a)}^{3 - 2} \cdot {(- b + c)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(a)}^{3 - 3} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- b + c)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a)}^{3}$ par $1$ .

${(a)}^{3} \cdot {(- b + c)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.3

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.4

Simplifiez

$a^{3} + 3 a^{2} \cdot (- b + c) + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.8

Simplifiez

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot a \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.9

Réécrivez ${(- b + c)}^{2}$ comme $(- b + c) (- b + c)$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot ((- b + c) (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.10

Développez $(- b + c) (- b + c)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b + c) + c (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b) - b c + c (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b) - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.11.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 b \cdot b - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.1.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.1.2.1

Déplacez $b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.1.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (1 b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.1.4

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - c b + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.1.6

Multipliez $c$ par $c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - c b + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.2

Soustrayez $c b$ de $- b c$ .

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Étape 4.11.2.1

Déplacez $c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - b c + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.11.2.2

Soustrayez $b c$ de $- b c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.12

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} + 3 a (- 2 b c) + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.13

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a (b c) + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.14

Multipliez ${(a)}^{0}$ par $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.15

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.16

Multipliez ${(- b + c)}^{3}$ par $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- b + c)}^{3}$

Étape 4.17

Utilisez le théorème du binôme.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- b)}^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Étape 4.18

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.18.1

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Étape 4.18.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Étape 4.18.3

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} b^{2}) c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Étape 4.18.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 (1 b^{2}) c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Étape 4.18.5

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 b^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Étape 4.18.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 b^{2} c - 3 b c^{2} + c^{3}$