Algèbre Exemples

$4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(3)}^{4} - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$4 \cdot 81 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $81$ .

$324 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Étape 4.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$324 - 18 \cdot 27 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 18$ par $27$ .

$324 - 486 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Étape 4.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$324 - 486 + 42 \cdot 9 - 108 \cdot 3 + 108$

Étape 4.1.6

Multipliez $42$ par $9$ .

$324 - 486 + 378 - 108 \cdot 3 + 108$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 108$ par $3$ .

$324 - 486 + 378 - 324 + 108$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $486$ de $324$ .

$- 162 + 378 - 324 + 108$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 162$ et $378$ .

$216 - 324 + 108$

Étape 4.2.3

Soustrayez $324$ de $216$ .

$- 108 + 108$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 108$ et $108$ .

$0$

Étape 5

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108}{x - 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 18)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$	$- 6$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(42)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$	$24$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(24)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(72)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 36)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 108)$ sous le terme suivant dans le dividende $(108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$4 x^{3} + - 6 x^{2} + (24) x - 36$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 6 x^{2} + 24 x - 36)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 24 x - 36)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $24 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) - 36)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18))$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18))$

Étape 8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18))$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3)))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 3) (x^{2} + 6)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (2 (2 x - 3) (x^{2} + 6))$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Étape 10.1.3

Factorisez $2$ à partir de $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) - 108 x + 108 = 0$

Étape 10.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 108 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 108 = 0$

Étape 10.1.5

Factorisez $2$ à partir de $108$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Étape 10.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Étape 10.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Étape 10.1.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54) = 0$

Étape 10.1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x + 54) = 0$

Étape 10.2

Regroupez les termes.

$2 (2 x^{4} - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{4} - 54 x$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{4}$ .

$2 (2 x (x^{3}) - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 54 x$ .

$2 (2 x (x^{3}) + 2 x (- 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{3}) + 2 x (- 27)$ .

$2 (2 x (x^{3} - 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.4

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$2 (2 x (x^{3} - 3^{3}) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.6

Factorisez.

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Étape 10.6.1

Simplifiez

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Étape 10.6.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.6.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.7

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54$ .

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Étape 10.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x^{3}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 21 x^{2} + 54) = 0$

Étape 10.7.2

Factorisez $3$ à partir de $21 x^{2}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 54) = 0$

Étape 10.7.3

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Étape 10.7.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Étape 10.7.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18)) = 0$

Étape 10.8

Factorisez.

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Étape 10.8.1

Factorisez $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 10.8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 10.8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 18, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 9, \pm 3$

Étape 10.8.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 10.8.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$- 3 \cdot 3^{3} + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Étape 10.8.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 3 \cdot 27 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Étape 10.8.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$- 81 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Étape 10.8.1.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 81 + 7 \cdot 9 + 18$

Étape 10.8.1.3.5

Multipliez $7$ par $9$ .

$- 81 + 63 + 18$

Étape 10.8.1.3.6

Additionnez $- 81$ et $63$ .

$- 18 + 18$

Étape 10.8.1.3.7

Additionnez $- 18$ et $18$ .

$0$

Étape 10.8.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18}{x - 3}$

Étape 10.8.1.5

Divisez $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ par $x - 3$ .

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Étape 10.8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$18$

Étape 10.8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$

Étape 10.8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			-	$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Étape 10.8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{3} + 9 x^{2}$

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Étape 10.8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 10.8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 10.8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 10.8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 10.8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 6 x$

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 10.8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Étape 10.8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Étape 10.8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Étape 10.8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Étape 10.8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x + 18$

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Étape 10.8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$
										$0$

Étape 10.8.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 3 x^{2} - 2 x - 6$

Étape 10.8.1.6

Écrivez $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ comme un ensemble de facteurs.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Étape 10.9

Factorisez $x - 3$ à partir de $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.9.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Étape 10.9.2

Factorisez $x - 3$ à partir de $3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.9.3

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.10

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x - 3) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.11

Simplifiez

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Étape 10.11.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.11.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.11.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 10.11.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ((x - 3) (2 x^{2 + 1} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.11.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.11.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.12.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.12.1.1

Déplacez $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 (x \cdot x)) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.12.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x^{2}) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.12.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Étape 10.13

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Étape 10.14

Simplifiez

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Étape 10.14.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Étape 10.14.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x + 3 \cdot - 6)) = 0$

Étape 10.14.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x - 18)) = 0$

Étape 10.15

Soustrayez $9 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x - 6 x - 18)) = 0$

Étape 10.16

Soustrayez $6 x$ de $18 x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18)) = 0$

Étape 10.17

Factorisez.

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Étape 10.17.1

Factorisez.

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Étape 10.17.1.1

Réécrivez $2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18$ en forme factorisée.

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Étape 10.17.1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.17.1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((x - 3) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18)) = 0$

Étape 10.17.1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 ((x - 3) (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3))) = 0$

Étape 10.17.1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$2 ((x - 3) ((2 x - 3) (x^{2} + 6))) = 0$

Étape 10.17.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 ((x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6)) = 0$

Étape 10.17.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 13

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 14

Définissez $x^{2} + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x^{2} + 6$ égal à $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $x^{2} + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 6$

Étape 14.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Étape 14.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Étape 14.2.3.1

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Étape 14.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (6)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Étape 14.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Étape 14.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 14.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{6}$

Étape 14.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{6}$

Étape 14.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$ vraie.

$x = 3, \frac{3}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Étape 16