Algèbre Exemples

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(\frac{1}{2})}^{6} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{6}}{2^{6}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{2^{6}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$2 (\frac{1}{64}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$2 \frac{1}{2 (32)} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - 3 \frac{1^{5}}{2^{5}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{32} - 3 \frac{1}{2^{5}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{32} - 3 (\frac{1}{32}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.8

Associez $- 3$ et $\frac{1}{32}$ .

$\frac{1}{32} + \frac{- 3}{32} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 \frac{1}{2^{4}} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.12

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 (\frac{1}{16}) + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.13

Associez $- 13$ et $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} + \frac{- 13}{16} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 \frac{1}{2^{3}} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.17

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 (\frac{1}{8}) - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.18

Associez $29$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.19

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.20

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 \frac{1}{2^{2}} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.21

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 (\frac{1}{4}) + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.22

Associez $- 27$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Étape 4.1.24

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.24.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 2 (16) \frac{1}{2} - 12$

Étape 4.1.24.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 2 \cdot 16 \frac{1}{2} - 12$

Étape 4.1.24.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 16 - 12$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16 - 12 + \frac{1 - 3}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$16 - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $16$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{16}{1} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16}{1} \cdot \frac{32}{32} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.4

Écrivez $- 12$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12}{1} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{- 12}{1}$ par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{- 12}{1}$ par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.7

Multipliez $\frac{- 13}{16}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{- 13}{16}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.9

Multipliez $\frac{29}{8}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.10

Multipliez $\frac{29}{8}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27}{4}$

Étape 4.3.11

Multipliez $\frac{- 27}{4}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27}{4} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 4.3.12

Multipliez $\frac{- 27}{4}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Étape 4.3.13

Réorganisez les facteurs de $16 \cdot 2$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Étape 4.3.14

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Étape 4.3.15

Réorganisez les facteurs de $8 \cdot 4$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Étape 4.3.16

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{32} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Étape 4.3.17

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{32} + \frac{- 27 \cdot 8}{32}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 \cdot 32 - 12 \cdot 32 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $16$ par $32$ .

$\frac{512 - 12 \cdot 32 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 12$ par $32$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Étape 4.5.3

Multipliez $- 13$ par $2$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Étape 4.5.4

Multipliez $29$ par $4$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 116 - 27 \cdot 8}{32}$

Étape 4.5.5

Multipliez $- 27$ par $8$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 116 - 216}{32}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $384$ de $512$ .

$\frac{128 - 2 - 26 + 116 - 216}{32}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $128$ .

$\frac{126 - 26 + 116 - 216}{32}$

Étape 4.6.3

Soustrayez $26$ de $126$ .

$\frac{100 + 116 - 216}{32}$

Étape 4.6.4

Additionnez $100$ et $116$ .

$\frac{216 - 216}{32}$

Étape 4.6.5

Soustrayez $216$ de $216$ .

$\frac{0}{32}$

Étape 4.6.6

Divisez $0$ par $32$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$
	$2$	$- 2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 13)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$	$- 14$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 14)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(29)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$
	$2$	$- 2$	$- 14$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(22)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(11)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 27)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 16)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(32)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$

Étape 6.13

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(24)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$	$12$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$

Étape 6.14

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$	$12$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$	$0$

Étape 6.15

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{5} + - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} + (- 16) x + 24$

Étape 6.16

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{5} - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{5} - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{5}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $22 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) - 16 x + 24)$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $- 16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 24)$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{5}) + 2 (- x^{4})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Étape 7.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 7 x^{3})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Étape 7.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Étape 7.10

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (- 8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x) + 2 (12))$

Étape 7.11

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x) + 2 (12)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Étape 8.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{6} - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $6$ .

$2 \cdot 0.015625 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.015625$ .

$0.03125 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $5$ .

$0.03125 - 3 \cdot 0.03125 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $0.03125$ .

$0.03125 - 0.09375 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.6

Soustrayez $0.09375$ de $0.03125$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.7

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot 0.0625 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.8

Multipliez $- 13$ par $0.0625$ .

$- 0.0625 - 0.8125 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.9

Soustrayez $0.8125$ de $- 0.0625$ .

$- 0.875 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.10

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$- 0.875 + 29 \cdot 0.125 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.11

Multipliez $29$ par $0.125$ .

$- 0.875 + 3.625 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.12

Additionnez $- 0.875$ et $3.625$ .

$2.75 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.13

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$2.75 - 27 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.14

Multipliez $- 27$ par $0.25$ .

$2.75 - 6.75 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.15

Soustrayez $6.75$ de $2.75$ .

$- 4 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 8.1.3.16

Multipliez $32$ par $0.5$ .

$- 4 + 16 - 12$

Étape 8.1.3.17

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$12 - 12$

Étape 8.1.3.18

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 8.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{2 x - 1}$

Étape 8.1.5

Divisez $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ par $2 x - 1$ .

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Étape 8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

Étape 8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{5}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$

Étape 8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Étape 8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{6} - x^{5}$

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Étape 8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

Étape 8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{5}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Étape 8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{5}$	-	$x^{4}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Étape 8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Étape 8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{5} + x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Étape 8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

Étape 8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Étape 8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 14 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Étape 8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Étape 8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 14 x^{4} + 7 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Étape 8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

Étape 8.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Étape 8.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $22 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Étape 8.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Étape 8.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $22 x^{3} - 11 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Étape 8.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

Étape 8.1.5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Étape 8.1.5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 16 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Étape 8.1.5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Étape 8.1.5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 16 x^{2} + 8 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Étape 8.1.5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

Étape 8.1.5.26

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Étape 8.1.5.27

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $24 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Étape 8.1.5.28

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Étape 8.1.5.29

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $24 x - 12$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Étape 8.1.5.30

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

$0$

Étape 8.1.5.31

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12$

Étape 8.1.6

Écrivez $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Étape 8.2

Regroupez les termes.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x^{4} - 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3} - 8) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.4

Factorisez.

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Étape 8.4.1

Factorisez $x^{4} - x^{3} - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 8.4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 8.4.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{4} - 2^{3} - 8$

Étape 8.4.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 2^{3} - 8$

Étape 8.4.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 - 1 \cdot 8 - 8$

Étape 8.4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$16 - 8 - 8$

Étape 8.4.1.3.5

Soustrayez $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Étape 8.4.1.3.6

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 8.4.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 8}{x - 2}$

Étape 8.4.1.5

Divisez $x^{4} - x^{3} - 8$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Étape 8.4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Étape 8.4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 8.4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 8.4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

Étape 8.4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 8.4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 8.4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 8.4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 8.4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 8.4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Étape 8.4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Étape 8.4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Étape 8.4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 4 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Étape 8.4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Étape 8.4.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 8.4.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 8.4.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 8.4.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 8$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 8.4.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Étape 8.4.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 4$

Étape 8.4.1.6

Écrivez $x^{4} - x^{3} - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x ((x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 8.5

Factorisez $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 7$

Étape 8.5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 12, \pm 1.\overline{714285}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 6, \pm 0.\overline{857142}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}$

Étape 8.5.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$- 7 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Étape 8.5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 7 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Étape 8.5.3.3

Multipliez $- 7$ par $8$ .

$- 56 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Étape 8.5.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 56 + 11 \cdot 4 + 12$

Étape 8.5.3.5

Multipliez $11$ par $4$ .

$- 56 + 44 + 12$

Étape 8.5.3.6

Additionnez $- 56$ et $44$ .

$- 12 + 12$

Étape 8.5.3.7

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 8.5.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12}{x - 2}$

Étape 8.5.5

Divisez $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$0 x$

$12$

Étape 8.5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Étape 8.5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$7 x^{3}$	+	$14 x^{2}$

Étape 8.5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{3} + 14 x^{2}$

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

Étape 8.5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 8.5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 8.5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 6 x$

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 8.5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Étape 8.5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 8.5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 8.5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 8.5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x + 12$

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Étape 8.5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Étape 8.5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 7 x^{2} - 3 x - 6$

Étape 8.5.6

Écrivez $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.6

Factorisez $x - 2$ à partir de $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.6.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.7

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{1 + 3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.8.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.1

Déplacez $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.10

Soustrayez $7 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 3 x - 6)) = 0$

Étape 8.11

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.1

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 8.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 10

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 11

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12

Définissez $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Définissez $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ égal à $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 12.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 12.2.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 12.2.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 12.2.1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 12.2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

Étape 12.2.1.5

Factorisez $u^{2} - 5 u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 6, 1$

Étape 12.2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

Étape 12.2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 12.2.1.7

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 12.2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Étape 12.2.1.9

Factorisez $u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 12.2.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Étape 12.2.1.10

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Étape 12.2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 12.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 12.2.3

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 12.2.3.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 12.2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 12.2.3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 12.2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 12.2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 12.2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 12.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 12.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = i, - i, 2, - 3$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 2, i, - i, - 3$

Étape 14