Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x) = \frac{2^{2} - x^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$f (x) = \frac{(2 + x) (2 - x)}{x^{2} - 3 x - 4}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = \frac{(2 + x) (2 - x)}{(x - 4) (x + 1)}$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 - (- x))}{((- x) - 4) ((- x) + 1)}$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 - (- x))}{((- x) - 4) ((- x) + 1)}$

Étape 3.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + 1 x)}{(- x - 4) (- x + 1)}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{(- x - 4) (- x + 1)}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{(- (x) - 4) (- x + 1)}$

Étape 3.5

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{(- (x) - 1 \cdot 4) (- x + 1)}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{- (x + 4) (- x + 1)}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{- 1 (x + 4) (- x + 1)}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{- 1 (x + 4) (- (x) + 1)}$

Étape 3.9

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{- 1 (x + 4) (- (x) - 1 \cdot - 1)}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{- 1 (x + 4) (- (x - 1))}$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{- 1 (x + 4) (- 1 (x - 1))}$

Étape 3.11.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{1 (x + 4) (x - 1)}$

Étape 3.11.3

Multipliez $x + 4$ par $1$ .

$f (- x) = \frac{(2 - x) (2 + x)}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $\frac{(2 - x) (2 + x)}{(x + 4) (x - 1)}$ $\neq$ $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(x - 4) (x + 1)}$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(x - 4) (x + 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{(2 + x) (2 - x)}{(x - 4) (x + 1)}$

Étape 5.2

Comme $\frac{(2 - x) (2 + x)}{(x + 4) (x - 1)}$ $\neq$ $- \frac{(2 + x) (2 - x)}{(x - 4) (x + 1)}$ , la fonction n’est pas impaire.

La fonction n’est pas impaire

Étape 6

La fonction n’est ni paire ni impaire

Étape 7

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 8

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 9

Comme la fonction n’est ni impaire ni paire, il n’y a pas de symétrique par rapport à l’origine ni par rapport à l’ordonnée.

La fonction n’est pas symétrique

Étape 10