Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}}$ par $\frac{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}$ .

$\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}}$ par $\frac{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{(2 \sqrt{a} - \sqrt{b}) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 {\sqrt{a}}^{2} + 2 \sqrt{b a} - 2 \sqrt{a b} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 a - b}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{a} (2 \sqrt{a} + \sqrt{b}) + 1 (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 a - b}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{a} (2 \sqrt{a}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 a - b}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{a} (2 \sqrt{a}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.2

Multipliez $2 \sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $\sqrt{a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.2.2

Élevez $\sqrt{a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.3

Réécrivez ${\sqrt{a}}^{2}$ comme $a$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a^{1} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$\frac{2 a + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a + \sqrt{a b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.5

Multipliez $2 \sqrt{a}$ par $1$ .

$\frac{2 a + \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a} + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 4.6

Multipliez $\sqrt{b}$ par $1$ .

$\frac{2 a + \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a b}$ comme ${(a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {(a b)}^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {(a b)}^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + \sqrt{b}}{4 a - b}$

Étape 5.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {(a b)}^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $a b$ .

$\frac{2 a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5

Réécrivez $2 a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$ en forme factorisée.

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Étape 5.5.1

Factorisez $a^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $a^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 a$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $a^{\frac{1}{2}}$ à partir de $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} (b^{\frac{1}{2}}) + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $a^{\frac{1}{2}}$ à partir de $a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} (b^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.2

Laissez $u = a^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $a^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

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Étape 5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u (2 u) + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 u \cdot u + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.2.3

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.2.3.1

Déplacez $u$ .

$\frac{2 (u \cdot u) + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$\frac{2 u^{2} + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.5.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 u^{2} + u b^{\frac{1}{2}}) + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (2 u + b^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 u + b^{\frac{1}{2}})}{4 a - b}$

Étape 5.5.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 u + b^{\frac{1}{2}}) (u + 1)}{4 a - b}$

Étape 5.5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 a - b}$