Algèbre Exemples

$7 x y - \frac{y}{7} = \frac{2}{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (7 x y - \frac{y}{7}) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x y - \frac{y}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x y$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$7 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$7 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y}{7}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (x y') + 7 y - \frac{1}{7} y'$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 x y' - \frac{1}{7} y' + 7 y$

Étape 2.4.3

Associez $y'$ et $\frac{1}{7}$ .

$7 x y' - \frac{y'}{7} + 7 y$

Étape 2.4.4

Pour écrire $7 x y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$7 x y' \cdot \frac{7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Étape 2.4.5

Associez $7 x y'$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7 x y' \cdot 7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x y' \cdot 7 - y'}{7} + 7 y$

Étape 2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.1

Factorisez $y'$ à partir de $7 x y' \cdot 7 - y'$ .

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Étape 2.4.7.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $7 x y' \cdot 7$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7) - y'}{7} + 7 y$

Étape 2.4.7.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1}{7} + 7 y$

Étape 2.4.7.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7 - 1)}{7} + 7 y$

Étape 2.4.7.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y$

Étape 2.4.8

Pour écrire $7 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y \cdot \frac{7}{7}$

Étape 2.4.9

Associez $7 y$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + \frac{7 y \cdot 7}{7}$

Étape 2.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y' (49 x - 1) + 7 y \cdot 7}{7}$

Étape 2.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y' (49 x) + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Étape 2.4.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{49 y' x + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Étape 2.4.11.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y'$ .

$\frac{49 y' x - 1 \cdot y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Étape 2.4.11.4

Réécrivez $- 1 y'$ comme $- y'$ .

$\frac{49 y' x - y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Étape 2.4.11.5

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$

Étape 2.4.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$ .

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} = - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $7$ .

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$49 x y' - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Étape 5.2.1.1.2

Déplacez $x$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - 7 \frac{2}{x^{2}}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 7 \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 5.2.2.1.1.3

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 14}{x^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{14}{x^{2}}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $49 y$ des deux côtés de l’équation.

$49 y' x - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $49 y' x - y'$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $49 y' x$ .

$y' (49 x) - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (49 x) + y' \cdot - 1 = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (49 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ par $49 x - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ par $49 x - 1$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $49 x - 1$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{14}{x^{2}} \cdot \frac{1}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{49 x - 1}$ par $\frac{14}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Étape 5.3.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1}$

Étape 5.3.3.3.2

Pour écrire $- \frac{49 y}{49 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.3

Multipliez $\frac{49 y}{49 x - 1}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 14 - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.5

Factorisez $7$ à partir de $- 14 - 49 y x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.3.5.1

Factorisez $7$ à partir de $- 14$ .

$y' = \frac{7 (- 2) - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.5.2

Factorisez $7$ à partir de $- 49 y x^{2}$ .

$y' = \frac{7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.5.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})$ .

$y' = \frac{7 (- 2 - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 y x^{2}$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - (7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (7 y x^{2})$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2 + 7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Étape 5.3.3.3.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$ .

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$