Algèbre Exemples

$5 \tan (\frac{x}{y}) = 12 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 \tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \tan (\frac{x}{y})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{y})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{y}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$5 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{y}$ .

$5 (\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.6

Associez $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ et $5$ .

$\frac{(y - x y') \cdot 5}{y^{2}} \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 2.7

Associez $\frac{(y - x y') \cdot 5}{y^{2}}$ et $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{(y - x y') \cdot 5 \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Étape 2.8

Déplacez $5$ à gauche de $y - x y'$ .

$\frac{5 \cdot (y - x y') \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 y + 5 (- x y')) \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Étape 2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) + 5 (- x y') \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Étape 2.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Étape 2.9.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'}{y^{2}}$

Étape 2.9.4

Factorisez $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ à partir de $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'$ .

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Étape 2.9.4.1

Factorisez $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ à partir de $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'}{y^{2}}$

Étape 2.9.4.2

Factorisez $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ à partir de $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y')}{y^{2}}$

Étape 2.9.4.3

Factorisez $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ à partir de $5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y')$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 12$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 12 y^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 12 y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = 12 y^{2}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = 12 y^{2}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y - 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = 12 y^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y - 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Étape 5.2.1.3.3

Déplacez $x$ .

$5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Étape 5.2.1.3.4

Remettez dans l’ordre $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ et $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ par $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ par $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{\sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Étape 5.3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{\sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 5.3.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Étape 5.3.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y}{x}$