Algèbre Exemples

$y = x^{8 \cos (X)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d X} (y) = \frac{d}{d X} (x^{8 \cos (X)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $X$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d X} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = 8 \cos (X)$ .

$\frac{d}{d X} [x] (8 \cos (X) x^{8 \cos (X) - 1}) + \frac{d}{d X} [8 \cos (X)] (x^{8 \cos (X)} \ln (x))$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $x$ est constant par rapport à $X$ , la dérivée de $x$ par rapport à $X$ est $0$ .

$0 (8 \cos (X) x^{8 \cos (X) - 1}) + \frac{d}{d X} [8 \cos (X)] x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 (\cos (X) x^{8 \cos (X) - 1}) + \frac{d}{d X} [8 \cos (X)] x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\cos (X)$ par $0$ .

$0 x^{8 \cos (X) - 1} + \frac{d}{d X} [8 \cos (X)] x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $0$ par $x^{8 \cos (X) - 1}$ .

$0 + \frac{d}{d X} [8 \cos (X)] x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d X} [8 \cos (X)] x^{8 \cos (X)} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d X} [8 \cos (X)] x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $X$ , la dérivée de $8 \cos (X)$ par rapport à $X$ est $8 \frac{d}{d X} [\cos (X)]$ .

$8 \frac{d}{d X} [\cos (X)] x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (X)$ par rapport à $X$ est $- \sin (X)$ .

$8 (- \sin (X)) x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 \sin (X) x^{8 \cos (X)} \ln (x)$

Étape 3.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 8 \sin (X) x^{8 \cos (X)} \ln (x)$ .

$- 8 x^{8 \cos (X)} \sin (X) \ln (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 8 x^{8 \cos (X)} \sin (X) \ln (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d X}$ .

$\frac{d y}{d X} = - 8 x^{8 \cos (X)} \sin (X) \ln (x)$