Algèbre Exemples

${(3 + 4 i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3)}^{4 - k} \cdot {(4 i)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{4 - 0} \cdot {(4 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{4 - 1} \cdot {(4 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{4 - 2} \cdot {(4 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{4 - 3} \cdot {(4 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3)}^{4 - 4} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez ${(3)}^{4}$ par $1$ .

${(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.3

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$81 \cdot (4^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.5

Multipliez $i^{0}$ par $1$ .

$81 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 \cdot 1 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.7

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 + 4 \cdot 27 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.9

Multipliez $4$ par $27$ .

$81 + 108 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

$81 + 108 \cdot (4 i) + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.11

Multipliez $4$ par $108$ .

$81 + 432 i + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 + 432 i + 6 \cdot 9 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.13

Multipliez $6$ par $9$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.14

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (4^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.15

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 \cdot - 1) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.17

Multipliez $54 (16 \cdot - 1)$ .

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Étape 4.1.17.1

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot - 16 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.17.2

Multipliez $54$ par $- 16$ .

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.18

Évaluez l’exposant.

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot 3 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.19

Multipliez $4$ par $3$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.20

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (4^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.21

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.22

Factorisez $i^{2}$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.23

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.24

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.25

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (- 64 i) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.26

Multipliez $- 64$ par $12$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.27

Multipliez ${(3)}^{0}$ par $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.28

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.29

Multipliez ${(4 i)}^{4}$ par $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(4 i)}^{4}$

Étape 4.1.30

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 4^{4} i^{4}$

Étape 4.1.31

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 i^{4}$

Étape 4.1.32

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 4.1.32.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(i^{2})}^{2}$

Étape 4.1.32.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(- 1)}^{2}$

Étape 4.1.32.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 \cdot 1$

Étape 4.1.33

Multipliez $256$ par $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $864$ de $81$ .

$- 783 + 432 i - 768 i + 256$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 783$ et $256$ .

$- 527 + 432 i - 768 i$

Étape 4.2.3

Soustrayez $768 i$ de $432 i$ .

$- 527 - 336 i$