Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{7 x^{2} + x - 8}{2 x^{2} - 7 x}$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 8 = - 56$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$f (x) = \frac{7 x^{2} + 1 x - 8}{2 x^{2} - 7 x}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 7$ plus $8$

$f (x) = \frac{7 x^{2} + (- 7 + 8) x - 8}{2 x^{2} - 7 x}$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{7 x^{2} - 7 x + 8 x - 8}{2 x^{2} - 7 x}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = \frac{(7 x^{2} - 7 x) + 8 x - 8}{2 x^{2} - 7 x}$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = \frac{7 x (x - 1) + 8 (x - 1)}{2 x^{2} - 7 x}$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (7 x + 8)}{2 x^{2} - 7 x}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} - 7 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (7 x + 8)}{x (2 x) - 7 x}$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 7 x$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (7 x + 8)}{x (2 x) + x \cdot - 7}$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x) + x \cdot - 7$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (7 x + 8)}{x (2 x - 7)}$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 1) (7 (- x) + 8)}{(- x) (2 (- x) - 7)}$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 7 x + 8)}{- x (2 (- x) - 7)}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 7 x + 8)}{- x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- x) = - \frac{(- x - 1) (- 7 x + 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1) (- 7 x + 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (- 7 x + 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{- (x + 1) (- 7 x + 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.6

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 7 x + 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (7 x) + 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.8

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (7 x) - 1 \cdot - 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x) - 1 (- 8)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (7 x - 8))}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Réécrivez $- (7 x - 8)$ comme $- 1 (7 x - 8)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 1 (7 x - 8))}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{1 (x + 1) (7 x - 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.10.3

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (- 2 x - 7)}$

Étape 3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (- (2 x) - 7)}$

Étape 3.12

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (- (2 x) - 1 \cdot 7)}$

Étape 3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (7)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (- (2 x + 7))}$

Étape 3.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.14.1

Réécrivez $- (2 x + 7)$ comme $- 1 (2 x + 7)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (- 1 (2 x + 7))}$

Étape 3.14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (2 x + 7)}$

Étape 3.14.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = 1 (\frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (2 x + 7)})$

Étape 3.14.4

Multipliez $\frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (2 x + 7)}$ par $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (2 x + 7)}$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $\frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (2 x + 7)}$ $\neq$ $\frac{(x - 1) (7 x + 8)}{x (2 x - 7)}$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{(x - 1) (7 x + 8)}{x (2 x - 7)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 1) (7 x + 8)}{x (2 x - 7)}$

Étape 5.2

Comme $\frac{(x + 1) (7 x - 8)}{x (2 x + 7)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 1) (7 x + 8)}{x (2 x - 7)}$ , la fonction n’est pas impaire.

La fonction n’est pas impaire

Étape 6

La fonction n’est ni paire ni impaire

Étape 7

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 8

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 9

Comme la fonction n’est ni impaire ni paire, il n’y a pas de symétrique par rapport à l’origine ni par rapport à l’ordonnée.

La fonction n’est pas symétrique

Étape 10